6 Sean $a_1, a_2, \ldots, a_n$ números reales tales que $\sum_{i=1}^n a_i = n$ , $\sum_{i = 1}^n a_i^2 = 2n$ , $\sum_{i=1}^n a_i^3 = 3n$ . (i) Halle la mayor constante $C$ tal que para todo $n \geqslant 4$ , \[ \max \left\{ a_1, a_2, \ldots, a_n \right\} - \min \left\{ a_1, a_2, \ldots, a_n \right\} \geqslant C. \] (ii) Demuestre que existe una constante positiva $C_2$ tal que \[ \max \left\{ a_1, a_2, \ldots, a_n \right\} - \min \left\{ a_1, a_2, \ldots, a_n \right\} \geqslant C + C_2 n^{-\frac 32}, \] donde $C$ es la constante determinada en (i).

1 Para un entero positivo $n$ , sea $\alpha(n)$ la media aritmética de los divisores de $n$ , y sea $\beta(n)$ la media aritmética de los números $k \le n$ con $\text{gcd}(k,n)=1$ . Determine todos los enteros positivos $n$ con $\alpha(n)=\beta(n)$ .

2 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}$ con \[2x^3zf(z)+yf(y) \ge 3yz^2f(x)\] para todos los $x,y,z \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ .

3 El Jugador Cero y el Jugador Uno juegan un juego en un tablero $n \times n$ ( $n \ge 1$ ) . Las columnas de este tablero $n \times n$ están numeradas $1,2,4,\dots,2^{n-1}$ . Por turnos, los jugadores ponen su propio número en una de las casillas libres (así, el Jugador Cero pone un $0$ y el Jugador Uno pone un $1$ ) . El Jugador Cero comienza. Cuando el tablero está lleno, el juego termina y cada fila produce un número (binario invertido) obtenido sumando los valores de las columnas que tienen un $1$ en esa fila. Por ejemplo, cuando $n=4$ , una fila con $0101$ produce el número $0 \cdot1+1 \cdot 2+0 \cdot 4+1 \cdot 8=10$ . a) ¿Para qué números naturales $n$ puede el Jugador Uno asegurar siempre que al menos uno de los números de las filas sea divisible por $4$ ? b) ¿Para qué números naturales $n$ puede el Jugador Uno asegurar siempre que al menos uno de los números de las filas sea divisible por $3$ ?

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$, y sean $D$, $E$ y $F$ los pies de las alturas desde $A$, $B$ y $C$ a los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Denota por $P$ la intersección de las tangentes al circuncírculo de $ABC$ en $B$ y $C$. La recta que pasa por $P$ perpendicular a $EF$ corta a $AD$ en $Q$, y sea $R$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $EF$. Demuestra que $DR$ y $OQ$ son paralelas.

1 Sea $ABC$ un triángulo con ortocentro $H$ y circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sea $D$ la reflexión de $A$ en $B$ y sea $E$ la reflexión de $A$ en $C$. Sea $M$ el punto medio del segmento $DE$. Demuestra que la tangente a $\Gamma$ en $A$ es perpendicular a $HM$.

2 Encuentra todas las funciones \(f:\mathbb{Z}_{>0} \to \mathbb{Z}_{>0}\) tales que para todos los enteros positivos \(m,n\) y \(a\) se cumple a) \(f(f(m)f(n))=mn\) y b) \(f(2024a+1)=2024a+1\).

3 Sean $a,b,c$ números reales tales que $0 \le a \le b \le c$ y $a+b+c=1$. Demuestra que \[ab\sqrt{b-a}+bc\sqrt{c-b}+ac\sqrt{c-a}<\frac{1}{4}.\]

Sea $n$ un entero positivo. Hay $n$ islas con $n-1$ puentes que las conectan, de modo que se puede viajar de cualquier isla a cualquier otra. Una tarde, se declara un incendio en una de las islas. Cada mañana, el fuego se propaga a todas las islas vecinas. (Dos islas son vecinas si están conectadas por un puente). Para controlar la propagación, se destruye un puente cada noche hasta que el fuego no tenga a dónde propagarse al día siguiente. Sea $X$ el número mínimo posible de puentes que hay que destruir antes de que el fuego deje de propagarse. Encuentra el valor máximo posible de $X$ sobre todas las configuraciones posibles de puentes e islas y donde el fuego comienza.

1 En un tablero de $2023 \times 2023$, hay escarabajos en algunas de las casillas, con a lo más un escarabajo por casilla. Después de un minuto, cada escarabajo se mueve una casilla a la derecha, a la izquierda, hacia arriba o hacia abajo. Después de cada minuto adicional, los escarabajos continúan moviéndose a casillas adyacentes, pero siempre giran $90^\circ$, es decir, cuando un escarabajo acaba de moverse a la derecha o a la izquierda, ahora se mueve hacia arriba o hacia abajo, y viceversa. ¿Cuál es el número mínimo de escarabajos en el tablero tal que, sin importar dónde empiecen ni cómo se muevan (de acuerdo con las reglas), en algún momento dos escarabajos terminarán en la misma casilla?