6 Llamamos a un grafo con n vértices $k-flowing-chromatic$ si: 1. podemos colocar una ficha en cada vértice y cualesquiera dos fichas vecinas (conectadas por una arista) tienen colores diferentes. 2. podemos elegir un ciclo hamiltoniano $v_1,v_2,\cdots , v_n$ , y mover la ficha en $v_i$ a $v_{i+1}$ con $i=1,2,\cdots ,n$ y $v_{n+1}=v_1$ , tal que cualesquiera dos fichas vecinas también tienen colores diferentes. 3. después de alguna acción del paso 2 podemos hacer que todas las fichas alcancen cada uno de los n vértices. Sea T(G) el menor número k tal que G es k-flowing-chromatic. Si tal k no existe, denote T(G)=0. Denote $\chi (G)$ el número cromático de G. Halle todos los números positivos m tales que existe un grafo G con $\chi (G)\le m$ y $T(G)\ge 2^m$ sin un ciclo de longitud menor que 2017. sengeki-niju

5 En una fiesta con $99$ invitados, los anfitriones Ann y Bob juegan un juego (los anfitriones no se consideran invitados). Hay $99$ sillas dispuestas en un círculo; inicialmente, todos los invitados están de pie alrededor de esas sillas. Los anfitriones turnan alternadamente. En un turno, un anfitrión ordena a cualquier invitado que esté de pie sentarse en una silla desocupada $c$. Si alguna silla adyacente a $c$ ya está ocupada, el mismo anfitrión ordena a un invitado en tal silla que se levante (si ambas sillas adyacentes a $c$ están ocupadas, el anfitrión elige exactamente una de ellas). Todas las órdenes se ejecutan de inmediato. Ann hace el primer movimiento; su meta es lograr, después de algún movimiento suyo, que al menos $k$ sillas estén ocupadas. Determina el mayor $k$ para el cual Ann puede alcanzar la meta, sin importar cómo juegue Bob.

3 Sean $a, b, c, p, q, r$ enteros positivos con $p, q, r \ge 2$ . Denote \[Q=\{(x, y, z)\in \mathbb{Z}^3 : 0 \le x \le a, 0 \le y \le b , 0 \le z \le c \}. \] Inicialmente, se colocan algunas fichas en cada punto de $Q$ , con un total de $M$ fichas. Luego, se pueden realizar repetidamente los siguientes tres tipos de operaciones: (1) Quitar $p$ fichas de $(x, y, z)$ y colocar una ficha en $(x-1, y, z)$ ; (2) Quitar $q$ fichas de $(x, y, z)$ y colocar una ficha en $(x, y-1, z)$ ; (3) Quitar $r$ fichas de $(x, y, z)$ y colocar una ficha en $(x, y, z-1)$ . Halle el menor entero positivo $M$ tal que siempre se pueda realizar una sucesión de operaciones que deje una ficha colocada en $(0,0,0)$ , sin importar cómo estén distribuidas las fichas inicialmente.

6 (1) Demuestre que, en el plano complejo, el área de la envolvente convexa de todas las raíces complejas de $z^{20}+63z+22=0$ es mayor que $\pi$ . (2) Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números complejos con suma $1$ , y $k_1<k_2<\cdots<k_n$ enteros positivos impares. Sea $\omega$ un número complejo con norma al menos $1$ . Demuestre que la ecuación \[ a_1 z^{k_1}+a_2 z^{k_2}+\cdots+a_n z^{k_n}=w \] tiene al menos una raíz compleja con norma a lo sumo $3n|\omega|$ .

2 Sea $ABC$ un triángulo isósceles ( $AB=AC$ ) . Desde $A$ , trazamos una recta $\ell$ paralela a $BC$ . $P,Q$ están sobre las mediatrices de $AB,AC$ tales que $PQ\perp BC$ . $M,N$ son puntos sobre $\ell$ tales que los ángulos $\angle APM$ y $\angle AQN$ son $\frac\pi2$ . Demuestre que \[\frac{1}{AM}+\frac1{AN}\leq\frac2{AB}\] Omid

1 Demuestra que para todos los números reales positivos $a$ , $b$ , $c$ tales que $abc=1$ se cumple la siguiente desigualdad: $$\frac{a}{2b+c^2}+\frac{b}{2c+a^2}+\frac{c}{2a+b^2}\le \frac{a^2+b^2+c^2}3.$$

5 Dados los enteros positivos $n, k$ tales que $n\ge 4k$ , halle el valor mínimo $\lambda=\lambda(n,k)$ tal que para cualesquiera reales positivos $a_1,a_2,\ldots,a_n$ , se tiene \[ \sum\limits_{i=1}^{n} {\frac{{a}_{i}}{\sqrt{{a}_{i}^{2}+{a}_{{i}+{1}}^{2}+{\cdots}{{+}}{a}_{{i}{+}{k}}^{2}}}} \le \lambda\] Donde $a_{n+i}=a_i,i=1,2,\ldots,k$

7 En un triángulo $\triangle ABC$ con $\angle ABC < \angle BCA$, definimos $K$ como el excentro con respecto a $A$. Las rectas $AK$ y $BC$ se cortan en un punto $D$. Sea $E$ el circuncentro de $\triangle BKC$. Demuestre que \[\frac{1}{|KA|} = \frac{1}{|KD|} + \frac{1}{|KE|}.\]

2 Sea el triángulo $ABC(AB<AC)$ con incentro $I$ inscrito en $\odot O$ . Sean $M,N$ los puntos medios de los arcos $\widehat{BAC}$ y $\widehat{BC}$ , respectivamente. $D$ está sobre $\odot O$ de modo que $AD//BC$ , y $E$ es el punto de tangencia de la $A$ - excircunferencia de $\bigtriangleup ABC$ . El punto $F$ está en $\bigtriangleup ABC$ de modo que $FI//BC$ y $\angle BAF=\angle EAC$ . Extienda $NF$ hasta cortar a $\odot O$ en $G$ , y extienda $AG$ hasta cortar a la recta $IF$ en L. Las rectas $AF$ y $DI$ se cortan en $K$ . Demuestre que $ML\bot NK$ .

4 Sea $p$ un primo y $k$ un entero positivo. El conjunto $S$ contiene todos los enteros positivos $a$ que satisfacen $1\le a \le p-1$ , y existe un entero positivo $x$ tal que $x^k\equiv a \pmod p$ . Suponga que $3\le |S| \le p-2$ . Demuestre que los elementos de $S$ , ordenados en orden creciente, no forman una progresión aritmética.