4 Sean $a>b>0$ . Demuestre que $\sqrt2 a^3+ \frac{3}{ab-b^2}\ge 10$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad?

1 En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , las diagonales se intersecan en $O$ , y $M$ y $N$ son puntos de los segmentos $OA$ y $OD$ respectivamente. Suponga que $MN$ es paralelo a $AD$ y que $NC$ es paralelo a $AB$ . Demuestre que $\angle ABM=\angle NCD$ .

3 Halle todos los enteros positivos $m, n$ tales que $\frac{2m-1}{n}$ y $\frac{2n-1}{m}$ son ambos enteros.

2 ¿Cuál es el número máximo de enteros que pueden elegirse de $1,2,\dots,99$ de modo que los enteros elegidos puedan disponerse en una circunferencia con la propiedad de que el producto de cada par de enteros vecinos sea un número de 3 cifras?

3 Definimos un dominó como un bloque rectangular de $1\times 2$ . Una cuadrícula cuadrada de $2023\times 2023$ se rellena con dominós no superpuestos, dejando un único hueco de $1\times 1$ . John desliza repetidamente dominós hacia el hueco; cada dominó se mueve a lo sumo una vez. ¿Cuál es el número máximo de veces que John podría haber movido un dominó? (Ejemplo: en la cuadrícula de $3\times 3$ que se muestra abajo, John podría mover 2 dominós: $D$ , seguido de $A$ . ) [asy] unitsize(18); draw((0,0)--(3,0)--(3,3)--(0,3)--(0,0)--cycle); draw((0,1)--(3,1)); draw((2,0)--(2,3)); draw((1,1)--(1,3)); label("A",(0.5,2)); label("B",(1.5,2)); label("C",(2.5,2)); label("D",(1,0.5)); [/asy]

2 En $\vartriangle ABC, AB=AC=14 \sqrt2 , D$ es el punto medio de $CA$ y $E$ es el punto medio de $BD$ . Suponga que $\vartriangle CDE$ es semejante a $\vartriangle ABC$ . Halle la longitud de $BD$ .

5 Se le dan algunos triángulos equiláteros y cuadrados, todos de lado 1, y se le pide formar polígonos convexos de $n$ lados usando estas piezas. Si deben usarse ambos tipos, ¿cuáles son los valores posibles de $n$ , suponiendo que hay suficiente cantidad de piezas?

1 Un cuadrado se corta en varios rectángulos, ninguno de los cuales es un cuadrado, de modo que los lados de cada rectángulo son paralelos a los lados del cuadrado. Para cada rectángulo con lados $a, b,a<b$ , calcule la razón $a/b$ . Demuestre que la suma de estas razones es al menos $1$ .

2 Sea $n$ un entero positivo y sean $a_1,a_2,...,a_{2n}$ $2n$ enteros distintos. Dado que la ecuación $|x-a_1| |x-a_2| ... |x-a_{2n}| =(n!)^2$ tiene una solución entera $x = m$ , halle $m$ en términos de $a_1,a_2,...,a_{2n}$

3 Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$ . Sea $D$ un punto de $BC$ , y $E$ un punto de $AD$ tal que $\angle BED=\angle BAC=2\angle CED$ . Demuestre que $BD=2CD$ .