5 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Demuestre que existe un cuadrado $A'B'C'D'$ (los vértices pueden estar ordenados en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario) tal que $A \not = A', B \not = B', C \not = C', D \not = D'$ y $AA',BB',CC',DD'$ son todos concurrentes.

2 Sean $ A, B, D, E, F, C $ seis puntos sobre un círculo (en ese orden) que satisfacen $ AB=AC $ . Sean $ P=AD \cap BE, R=AF \cap CE, Q=BF \cap CD, S=AD \cap BF, T=AF \cap CD $ . Sea $ K $ un punto sobre $ ST $ que satisface $ \angle QKS=\angle ECA $ . Demuestre que $ \frac{SK}{KT}=\frac{PQ}{QR} $

3 Sea $n \geq 5$ un entero positivo y sean $A$ y $B$ conjuntos de enteros que satisfacen las condiciones siguientes: i) $|A| = n$ , $|B| = m$ y $A$ es un subconjunto de $B$ ii) Para cualesquiera $x,y \in B$ distintos, $x+y \in B$ si y solo si $x,y \in A$ Determine el valor mínimo de $m$ .

2 Dados $30$ estudiantes tales que cada estudiante tiene a lo sumo $5$ amigos y para cada $5$ estudiantes hay un par de estudiantes que no son amigos, determine el máximo $k$ tal que para todas las configuraciones posibles de este tipo, existen $k$ estudiantes que no son amigos entre sí.

3 Sea $a_1,a_2,...$ una sucesión de enteros no negativos tal que para cualesquiera $m,n$ \[ \sum_{i=1}^{2m} a_{in} \leq m.\] Demuestre que existen $k,d$ tales que \[ \sum_{i=1}^{2k} a_{id} = k-2014.\]

1 Sea $ABC$ un triángulo con $AB>AC$ . Sea $D$ el pie de la bisectriz interna del ángulo $A$ . Los puntos $F$ y $E$ están en $AC,AB$ respectivamente, tales que $B,C,F,E$ son concíclicos. Demuestre que el circuncentro de $DEF$ es el incentro de $ABC$ si y solo si $BE+CF=BC$ .

2 Para el entero $n>1$ , defina $D(n)=\{ a-b\mid ab=n, a>b>0, a,b\in\mathbb{N} \}$ . Demuestre que para cualquier entero $k>1$ , existen enteros positivos dos a dos distintos $n_1,n_2,\ldots,n_k$ tales que $n_1,\ldots,n_k>1$ y $|D(n_1)\cap D(n_2)\cap\cdots\cap D(n_k)|\geq 2$ .

3 Demuestre que: existe una única función $f:\mathbb{N^*}\to\mathbb{N^*}$ que satisface: i) $f(1)=f(2)=1$ ; ii ) $f(n)=f(f(n-1))+f(n-f(n-1))$ para $n\ge 3$ . Para cada entero $m\ge 2$ , halle el valor de $f(2^m)$ .

1 Sea $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_t^{a_t}$ la factorización en primos de $n$ . Defina $\omega(n)=t$ y $\Omega(n)=a_1+a_2+\ldots+a_t$ . Demuestre o refute: para cualquier entero positivo fijo $k$ y reales positivos $\alpha,\beta$ , existe un entero positivo $n>1$ tal que i) $\frac{\omega(n+k)}{\omega(n)}>\alpha$ ii) $\frac{\Omega(n+k)}{\Omega(n)}<\beta$ .

2 Sea $f:X\rightarrow X$ , donde $X=\{1,2,\ldots ,100\}$ , una función que satisface: 1) $f(x)\neq x$ para todo $x=1,2,\ldots,100$ ; 2) para cualquier subconjunto $A$ de $X$ tal que $|A|=40$ , se tiene $A\cap f(A)\neq\emptyset$ . Halle el mínimo $k$ tal que para cualquier función $f$ de este tipo, exista un subconjunto $B$ de $X$ , con $|B|=k$ , tal que $B\cup f(B)=X$ .