2 Dos circunferencias \(\Gamma_1\) y \(\Gamma_2\) con radios distintos se intersecan en los puntos \(A\) y \(B\) . Sean \(C\) y \(D\) puntos de \(\Gamma_1\) y \(\Gamma_2\) , respectivamente, tales que \(A\) es el punto medio del segmento \(CD\) . La recta \(DB\) corta a \(\Gamma_1\) nuevamente en \(E\) , con \(B\) situado entre \(D\) y \(E\) ; la recta \(CB\) corta a \(\Gamma_2\) nuevamente en \(F\) , con \(B\) situado entre \(C\) y \(F\) . Sean \(\ell_1\) y \(\ell_2\) las mediatrices de \(CD\) y \(EF\) , respectivamente. Se sabe que \(\ell_1\) y \(\ell_2\) se intersecan en un punto único \(P\) . Demuestre que las longitudes \(CA\) , \(AP\) y \(PE\) forman los lados de un triángulo rectángulo.

a) Demuestre que $\lim_{n\to\infty}n\int^n_0\frac{\operatorname{arctan}\frac xn}{x(x^2+1)}dx=\frac\pi2$ . b) Halle el límite $\lim_{n\to\infty}n\left(m\int^n_0\frac{\operatorname{arctan}\frac xn}{x(x^2+1)}dx-\frac\pi2\right)$ .

Sea $A\in M_n(\mathbb{C}) $ y $a\in \mathbb{C} $ tales que $A-A^*=2aI_n $ , donde $A^*=(\overline{A})^T $ e $I_n$ es la matriz identidad. (i) Demuestre que $|\det A|\ge |a|^n $ . (ii) Demuestre que si $|\det A|=|a|^n $ entonces $A=aI_n$ .

Problema 1. Sea $f$ una función real continua y decreciente, definida en $[0, \pi/2]$ . Demuestre las desigualdades $$\int_{\frac{\pi}{2}-1}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx\le\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)\cos xdx\le\int_{0}^{1}f(x)dx$$ ¿cuándo se cumplen las igualdades?

Problema 2. a) Demuestre que para toda matriz $X\in M_2(\mathbb{C})$ existe una matriz $Y\in M_2(\mathbb{C})$ tal que $Y^3=X^2$ . b) Demuestre que existe una matriz $A\in M_3(\mathbb{C})$ tal que $Z^3\neq A^2$ para toda $Z\in M_3(\mathbb{C})$

4 (a) Sea $n$ un entero positivo. Calcule $\displaystyle \int_0^1 x^{n-1}\ln x\,dx$ . (b) Calcule $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{1}{(n+1)^2}-\frac{1}{(n+2)^2}+\frac{1}{(n+3)^2}-\dots \right).$

Sea $n$ un entero positivo, $k\in \mathbb{C}$ y $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ tales que $\text{Tr } A\neq 0$ y $$\text{rank } A +\text{rank } ((\text{Tr } A) \cdot I_n - kA) =n.$$ Halle $\text{rank } A$ . ThE-dArK-lOrD

Sean $A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dos matrices reales simétricas con valores propios no negativos. Demuestre que $A^3+B^3=(A+B)^3$ si y solo si $AB=O_n$ .

Para $p \in \mathbb{R}$ , sea $(a_n)_{n \ge 1}$ la sucesión definida por \[ a_n=\frac{1}{n^p} \int_0^n |\sin( \pi x)|^x \mathrm dx. \] Determine todos los valores posibles de $p$ para los cuales la serie $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge.

Sea $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ una matriz tal que $(AA^*)^2=A^*A$ , donde $A^*=(\bar{A})^t$ denota la transpuesta hermitiana (es decir, la transpuesta conjugada) de $A$ . (a) Demuestre que $AA^*=A^*A$ . (b) Muestre que los valores propios no nulos de $A$ tienen módulo uno.