6 En una sucesión de números naturales $ a_1 $ , $ a_2 $ , $ \dots $ , $ a_ {1999} $ , $ a_n-a_ {n-1} -a_ {n-2} $ es divisible por $ 100 (3 \leq n \leq 1999) $ . Se sabe que $ a_1 = 19$ y $ a_2 = 99$ . Halle el resto de $ a_1 ^ 2 + a_2 ^ 2 + \dots + a_ {1999} ^ 2 $ al dividirlo por $8$ .

7 En una esfera de radio $1$ se da un punto $ P $ . Tres rayos mutuamente perpendiculares que parten del punto $ P $ cortan a la esfera en los puntos $ A $ , $ B $ y $ C $ . Demuestre que todos los planos $ ABC $ posibles pasan por un punto fijo, y halle el área máxima posible del triángulo $ ABC $

8 Sea $a_1,a_2,\ldots,a_n$ una permutación de los números $1,2,\ldots,n$ , con $n\geq 2$ . Determine el mayor valor posible de la suma \[ S(n)=|a_2-a_1|+ |a_3-a_2| + \cdots + |a_n-a_{n-1}| . \] Romania Valentin

2010.2.2 Sea \( I \) el centro de la circunferencia inscrita del triángulo \( ABC \) y sean \( A_1 \), \( B_1 \) y \( C_1 \) puntos arbitrarios sobre los segmentos \( AI \), \( BI \) y \( CI \). Denotemos por \( A_2 \) la intersección de las mediatrices de los segmentos \( BB_1 \) y \( CC_1 \), por \( B_2 \) la intersección de las mediatrices de los segmentos \( AA_1 \) y \( CC_1 \), y por \( C_2 \) la intersección de las mediatrices de los segmentos \( AA_1 \) y \( BB_1 \). Demuestra que los centros de las circunferencias circunscritas de los triángulos \( ABC \) y \( A_2B_2C_2 \) coinciden cuando \( I \) es el ortocentro del triángulo \( A_1B_1C_1 \).

2 Sea $PQ$ el diámetro del semicírculo $H$ . El círculo $O$ es tangente internamente a $H$ y tangente a $PQ$ en $C$ . Sea $A$ un punto de $H$ y $B$ un punto de $PQ$ tales que $AB\perp PQ$ y es tangente a $O$ . Demuestre que $AC$ biseca $\angle PAB$

4 Halle todos los enteros $m$ y $n$ que satisfacen $m^3 -n^3 - 9mn = 27$ .

8 En el triángulo isósceles acutángulo $ ABC $ , con base $ AC $ , se trazan las alturas $ AA_1 $ y $ BB_1 $ . La recta que pasa por $ B $ y por el punto medio de $ AA_1 $ corta a la circunferencia $ \omega $ circunscrita al triángulo $ ABC $ en el punto $ E $ . La tangente a $ \omega $ en el punto $ A $ corta a la recta $ BB_1 $ en el punto $ D $ . Demuestre que los puntos $ D $ , $ E $ , $ B_1 $ y $ C $ están sobre una misma circunferencia.

5 Para números reales $ x_1, x_2, \dots, x_n $ y $ y_1, y_2, \dots, y_n $ , se cumplen las desigualdades $ x_1 \geq x_2 \geq \ldots \geq x_n> 0 $ y $$ y_1 \geq x_1, ~ y_1y_2 \geq x_1x_2, ~ \dots, ~ y_1y_2 \dots y_n \geq x_1x_2 \dots x_n. $$ Demuestre que $ ny_1 + (n-1) y_2 + \dots + y_n \geq x_1 + 2x_2 + \dots + nx_n $ .

6 Se da un tablero cuadrado de $1995 \times 1995$ . Una coloración de las casillas del tablero se denomina buena si las casillas pueden reordenarse de modo que produzcan un tablero cuadrado coloreado que sea simétrico con respecto a la diagonal principal. Halle todos los valores de $k$ para los cuales cualquier $k$ - coloración del tablero dado es buena .

7 Para $n$ países dados hay una línea aérea que conecta cualesquiera dos países, pero algunas de las líneas aéreas están cerradas. Demuestre que si el número de líneas aéreas cerradas no excede $n-3$ , entonces se puede hacer un viaje de ida y vuelta usando las líneas aéreas restantes, partiendo de uno de los países, visitando cada país exactamente una vez y regresando al país de partida.