3 Sea $ABC$ un triángulo dado. Considere cualquier coloración de los puntos del plano en rojo y verde. Demuestre que existen, o bien dos puntos rojos a distancia $1$ , o bien tres puntos verdes que forman un triángulo congruente con el triángulo $ABC$ . Amir

4 Dados $r_1,r_2,\ldots,r_n \in \mathbb R$ , demuestre que existe un subconjunto $I$ de $\{1,2,\ldots,n \}$ que tiene uno o dos elementos en común con los conjuntos $\{i,i + 1,i + 2\} , (1 \leq i \leq n- 2)$ , tal que \[\left| {\mathop \sum \limits_{i \in I} {r_i}} \right| \geqslant \frac{1}{6}\mathop \sum \limits_{i = 1}^n \left| {{r_i}} \right|.\] Amir

3 Halle todas las funciones $f : \mathbb R \to \mathbb R$ tales que, para todos $x, y,$ \[f(f(x) + y) = f(x^2 - y) + 4f(x)y.\] Amir

2 Demuestre que, para cualquier triángulo $ABC$ , se tiene \[\sin\left(\frac{A}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{C}{2}\right) \leq \frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}.\] Amir.S

3 Sean $a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n$ $n$ números reales tales que $a_1^k +a_2^k + \cdots + a_n^k \geq 0$ para todo entero positivo $k$ . Suponga que $p=\max\{|a_1|,|a_2|, \ldots,|a_n|\}$ . Demuestre que $p=a_1$ y que \[(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)\leq x^n-a_1^n \qquad \forall x>a_1.\] Amir

3 Hay $30$ bolsas y en cada bolsa hay $100$ monedas similares (las monedas de cada bolsa son similares; las monedas de bolsas distintas pueden ser diferentes). El peso de cada moneda es un número de una cifra, en gramos. Disponemos de una balanza digital que puede pesar a lo sumo $999$ gramos en cada pesada. Usando esta balanza, queremos determinar el peso de las monedas de cada bolsa. (a) Demuestre que esta operación es posible con $10$ pesadas, y (b) que no es posible con $9$ pesadas. Amir

1 Halle todas las funciones estrictamente crecientes $f$ tales que, para todo $x\in \mathbb R$ , \[f(1-x)=1-f(f(x)).\] Amir

1 Suponga que $a, b, x$ son enteros positivos tales que \[x^{a+b}=a^bb\] . Demuestre que $a=x$ y $b=x^x$ . Amir.S

2 En un triángulo acutángulo $ABC$ , los puntos $D,E,F$ son los pies de las alturas trazadas desde $A,B,C$ , respectivamente. Una recta que pasa por $D$ paralela a $EF$ corta a $AC$ en $Q$ y a $AB$ en $R$ . Las rectas $BC$ y $EF$ se intersecan en $P$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita al triángulo $PQR$ pasa por el punto medio de $BC$ . Amir.S

3 Sea $S = \{x_0, x_1,\dots , x_n\}$ un conjunto finito de números en el intervalo $[0, 1]$ con $x_0 = 0$ y $x_1 = 1$ . Consideramos las distancias entre pares de números de $S$ . Si toda distancia que aparece, excepto la distancia $1$ , ocurre al menos dos veces, demuestre que todos los $x_i$ son racionales. Amir.S