6 Enteros positivos $k, n$ y subconjuntos $A_1, A_2, ..., A_k$ del conjunto $\{1, 2, ..., 2n\}$ están dados. Diremos que un par de números $x, y$ es bueno, si $x<y$, $x, y\in \{1, 2, ..., 2n\}$ y existe exactamente un índice $i\in \{1, 2, ..., 2n\}$, para el cual exactamente uno de $x, y$ pertenece a $A_i$. Demuestra que hay a lo más $n^2$ pares buenos.

7 Círculos \(o_1, o_2\) con radios iguales se intersectan en los puntos \(A, B\). Los puntos \(C, D, E, F\) yacen en este orden sobre una línea, con \(C, E\) sobre \(o_1\) y \(D, F\) sobre \(o_2\). Las mediatrices de \(CD\) y \(EF\) intersectan a \(AB\) en \(X, Y\) respectivamente. Demuestra que \(AX=BY\).

Sea $n>2$ un entero par, y sea $V$ un conjunto arbitrario de $8$ enteros distintos. Define \[ E(V,n) \;=\; \bigl\{(u,v)\in V\times V : u < v,\ u+v = n^k\text{ para algún }k\in\mathbb{N}\bigr\}. \] Para cada $n>2$ par, determina el tamaño máximo posible del conjunto $E(V,n)$.

Se dan enteros positivos $m, n$ tales que $\sqrt{2}<\frac{m}{n}<\sqrt{2}+\frac{1}{2}$ y $m$ es par. Demuestra que existen enteros positivos $k<m$ y $l<n$ tales que $$|\frac{k}{l}-\sqrt{2}|<\frac{m}{n}-\sqrt{2}$$

Encuentra todas las funciones \(f:\mathbb{N}_0\to\mathbb{N}\) tales que 1) \(f(a)\) divide a \(a\) para todo \(a\in\mathbb{N}_0\), y 2) para todos \(a,b,k\in\mathbb{N}_0\) se tiene \[ f\bigl(f(a)+kb\bigr)\;=\;f\bigl(a + k\,f(b)\bigr). \]

Sea $\triangle ABC$ un triángulo con lados de longitudes $a,b,c$, incentro $I$, y circunradio $R$. Denota por $P$ el área de $\triangle ABC$, y sean $P_1,\;P_2,\;P_3$ las áreas de los triángulos $\triangle ABI$, $\triangle BCI$, y $\triangle CAI$, respectivamente. Demuestra que \[ \frac{abc}{12R} \;\le\; \frac{P_1^2 + P_2^2 + P_3^2}{P} \;\le\; \frac{3R^3}{4\sqrt[3]{abc}}. \]

Sea \( f(x)=ax^2+bx+c \) una función cuadrática cuya gráfica no interseca el eje \( x \). Demuestra que \[ a(2a+3b+6c)>0. \]

4 Sea $n\ge 2$ un entero. Considera un tablero de $2n+1\times 2n+1$. Se han eliminado todas las celdas que están a la vez en una fila par y en una columna par. Las celdas restantes forman un laberinto. Una hormiga camina por el laberinto. Un solo paso de la hormiga consiste en moverse a una celda vecina. Determina, en términos de $n$, el menor número posible de pasos para que toda celda del laberinto sea visitada por la hormiga. La hormiga elige la celda inicial. La celda inicial y la celda final se consideran visitadas. Cada celda puede ser visitada varias veces. La figura muestra el laberinto para $n=3$ y los posibles pasos de la hormiga en sus cuatro ubicaciones.

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sea $J$ el $A$-excentro. La $A$-excircunferencia es tangente a $BC$, $CA$, $AB$ en $D$, $E$, $F$, respectivamente. La recta $DE$ interseca a $CJ$ y $BJ$ en $P$ y $Q$, respectivamente. $M$ es el punto medio de $AD$. Demuestra que $PM=QM$.

6 Sea $1\le k\le n$. Supón que la sucesión $a_1, a_2, \ldots, a_n$ satisface $0\le a_1 \le a_2 \le \ldots \le a_k$ y $0 \le a_n \le a_{n-1} \le \ldots \le a_k$. La sucesión $b_1, b_2, \ldots, b_n$ es la permutación no decreciente de $a_1, a_2, \ldots, a_n$. Demuestra que \[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (j-i)^2a_ia_j \le \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (j-i)^2b_ib_j \]