1 En un triángulo $ABC$ el área es $18$ , la longitud $AB$ es $5$ , y las medianas desde $A$ y $B$ son ortogonales. Halle las longitudes de los lados $BC,AC$ .

2 Halle dos enteros positivos $a,b$ tales que $a | b^2, b^2 | a^3, a^3 | b^4, b^4 | a^5$ , pero $a^5$ no divide a $b^6$

4 Halle el menor número natural posible $n = \overline{a_m ...a_2a_1a_0} $ (en el sistema decimal) tal que el número $r = \overline{a_1a_0a_m ..._20} $ sea igual a $2n$ .

5 Sean $C_1$ y $C_2$ dos circunferencias unitarias tangentes dentro de una circunferencia $C$ de radio $2$ . La circunferencia $C_3$ dentro de $C$ es tangente a las circunferencias $C,C_1,C_2$ , y la circunferencia $C_4$ dentro de $C$ es tangente a $C,C_1,C_3$ . Demuestre que los centros de $C,C_1,C_3$ y $C_4$ son vértices de un rectángulo.

1 ¿De cuántas maneras se pueden ordenar en una línea siete bolas blancas y cinco negras de modo que no haya dos bolas negras vecinas?

3 Se dan dos circunferencias tangentes exteriormente con radios distintos. Sus tangentes comunes forman un triángulo. Halle el área de este triángulo en términos de los radios de las dos circunferencias.

4 ¿De cuántas maneras se pueden elegir ocho enteros $a_1,a_2, ... ,a_8$ , no necesariamente distintos, tales que $1 \le a_1 \le ... \le a_8 \le 8$ ?

5 Si $a$ y $b$ son enteros positivos coprimos y $n$ es un entero, demuestre que el máximo común divisor de $a^2+b^2-nab$ y $a+b$ divide a $n+2$ .

6 Considere dos puntos fijos $B,C$ sobre una circunferencia $w$ . Halle el lugar geométrico de los incentros de todos los triángulos $ABC$ cuando el punto $A$ recorre $w$ .

1 El cuadrilátero $ ABCD$ está inscrito en una circunferencia que tiene a $ BD$ como diámetro. Sean $ A',B'$ los puntos simétricos de $ A,B$ con respecto a la recta $ BD$ y $ AC$ respectivamente. Si $ A'C \cap BD = P$ y $ AC\cap B'D = Q$ , entonces demuestre que $ PQ \perp AC$ Litlle