1 Halle todos los enteros positivos $(x,y)$ tales que $x^2+y^2=2017(x-y)$

2 Sea $M = \{(a,b,c)\in R^3 :0 <a,b,c<\frac12$ con $a+b+c=1 \}$ y sea $f: M\to R$ dada por $$f(a,b,c)=4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-\frac{1}{abc}$$ Halle las mejores cotas (reales) $\alpha$ y $\beta$ tales que $f(M) = \{f(a,b,c): (a,b,c)\in M\}\subseteq [\alpha,\beta]$ y determine si alguna de ellas se alcanza.

3 Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $AB=BC=CD$ , $\angle{EAB}=\angle{BCD}$ y $\angle{EDC}=\angle{CBA}$ . Demuestre que la recta perpendicular desde $E$ a $BC$ y los segmentos $AC$ y $BD$ son concurrentes.

4 Un rectángulo $\mathcal{R}$ cuyos lados tienen longitudes enteras impares se divide en rectángulos pequeños con lados de longitudes enteras. Demuestre que hay al menos uno entre los rectángulos pequeños cuyas distancias a los cuatro lados de $\mathcal{R}$ son todas impares o todas pares. Propuesto por Jeck Lim, Singapur

2 Halle la menor constante $C > 0$ para la cual se cumple la siguiente afirmación: entre cualesquiera cinco números reales positivos $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ (no necesariamente distintos), siempre se pueden elegir subíndices distintos $i,j,k,l$ tales que \[ \left| \frac{a_i}{a_j} - \frac {a_k}{a_l} \right| \le C. \]

3 Halle todas las funciones $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tales que: $$f(xy-1)+f(x)f(y)=2xy-1$$ para todo $x,y\in \mathbb{R}$ .

4 Sea $\tau(n)$ el número de divisores positivos de $n$ . Sea $\tau_1(n)$ el número de divisores positivos de $n$ que tienen resto $1$ al dividirlos por $3$ . Halle todos los valores enteros positivos de la fracción $\frac{\tau(10n)}{\tau_1(10n)}$ .

1 Sean $a, b,c$ números reales positivos. Demuestre que $ \sqrt{a^3b+a^3c}+\sqrt{b^3c+b^3a}+\sqrt{c^3a+c^3b}\ge \frac43 (ab+bc+ca)$

3 Dos circunferencias, $\omega_1$ y $\omega_2$ , con centros $O_1$ y $O_2$ , respectivamente, se cortan en los puntos $A$ y $B$ . Una recta que pasa por $B$ corta a $\omega_1$ nuevamente en $C$ y a $\omega_2$ nuevamente en $D$ . Las tangentes a $\omega_1$ y $\omega_2$ en $C$ y $D$ , respectivamente, se cortan en $E$ , y la recta $AE$ corta a la circunferencia $\omega$ que pasa por $A, O_1,O_2$ nuevamente en $F$ . Demuestre que la longitud del segmento $EF$ es igual al diámetro de $\omega$ . ThE-dArK-lOrD

4 El líder de un equipo de la IMO elige enteros positivos $n$ y $k$ con $n > k$ y se los anuncia al líder adjunto y a un concursante. El líder le dice entonces en secreto al líder adjunto una cadena binaria de $n$ dígitos, y el líder adjunto escribe todas las cadenas binarias de $n$ dígitos que difieren de la del líder en exactamente $k$ posiciones. (Por ejemplo, si $n = 3$ y $k = 1$ , y si el líder elige $101$ , el líder adjunto escribiría $001, 111$ y $100$ . ) Al concursante se le permite mirar las cadenas escritas por el líder adjunto y adivinar la cadena del líder. ¿Cuál es el número mínimo de conjeturas (en términos de $n$ y $k$ ) necesario para garantizar la respuesta correcta?