1 ¿Para cuáles de los siguientes valores de $A, B, C$ tiene el sistema de ecuaciones \[\left\{\begin{aligned} (x-y)(z-t) &=A, \\ (y-z)(t-x) &=B, \\ (x-z)(y-t) &=C \end{aligned}\right.\] una solución en números reales, y para cuáles no? a) $A=1$ , $B=2$ , $C=3$ ; b) $A=3$ , $B=2$ , $C=1$ .

2 Halle el menor entero $k$ con la siguiente propiedad: en cualquier conjunto de $k$ dígitos decimales distintos, existen dos elementos tales que el número de dos cifras formado por ellos es divisible por el cuadrado de un entero mayor que $1$ .

3 Sea $ M $ el punto de intersección de los segmentos $ AL $ y $ CK $ , donde los puntos $ K $ y $ L $ están respectivamente en los lados $ AB $ y $ BC $ del triángulo $ ABC $ de modo que los cuadriláteros $ AKLC $ y $ KBLM $ son cíclicos. Halle el ángulo $ \angle ABC $ si los radios de las circunferencias circunscritas a esos cuadriláteros cíclicos son iguales.

5 En el lado $ CD $ del trapecio $ ABCD $ ( $ BC \parallel AD $ ) , se marca el punto $ K $ de modo que el triángulo $ ABK $ sea equilátero. Demuestre que en la recta $ AB $ existe un punto $ L $ tal que el triángulo $ CDL $ también es equilátero.

6 Halle todas las ternas de números naturales $(a, b, c)$ que satisfacen la siguiente propiedad: el producto de cualesquiera dos de ellos, al dividirse por el tercero, deja un resto de $1$ .

8 En una circunferencia de radio $1$ se marcan $n$ puntos. Demuestre que no hay más de $\frac{n^{2}}{3}$ segmentos distintos con extremos entre estos puntos cuyas longitudes sean mayores que $\sqrt{2}$ .

1 ¿Existe una solución en números reales del sistema de ecuaciones \[\left\{ \begin{array}{rcl} (x - y)(z - t)(z - x)(z - t)^2 = A, \\ (y - z)(t - x)(t - y)(x - z)^2 = B,\\ (x - z)(y - t)(z - t)(y - z)^2 = C,\\ \end{array} \right.\] cuando a) $A=2, B=8, C=6;$ b) $A=2, B=6, C=8.$ ?

2 Demuestre que \[ab+bc+ca\ge 2(a+b+c)\] donde $a,b,c$ son reales positivos tales que $a+b+c+2=abc$ .

5 En el triángulo acutángulo $ ABC $ , el ángulo $ \angle A = 45^\circ $ , y las alturas $ BB_1 $ y $ CC_1 $ se intersecan en $ H $ . Demuestre que las rectas $ BC $ , $ B_1C_1 $ y la recta $ l $ que pasa por $ A $ perpendicular a $ AC $ se intersecan en un solo punto si y solo si $ H $ es el punto medio del segmento $ BB_1 $ .

7 Sea $S_{i}$ el conjunto de todos los subconjuntos de $i$ elementos del conjunto $M=\{1, 2, \ldots, n\}$ para cada $0 \leqslant i \leqslant n$ . Sea $k<\frac{n}{2}$ . Demuestre que existe una función $f: S_{k} \to S_{k+1}$ que satisface las siguientes condiciones: a) si $X \neq Y \in S_{k}$ , entonces $f(X) \neq f(Y)$ ; b) $X \subset f(X)$ para todo $X \in S_{k}$ .