4 Diremos que un entero positivo es ganador si puede escribirse como la suma de un cuadrado perfecto más un cubo perfecto. Por ejemplo, $33$ es ganador porque $33=5^2+2^3$ . Gabriel elige dos enteros positivos, r y s, y Germán debe hallar $2005$ enteros positivos $n$ tales que para cada $n$ , los números $r+n$ y $s+n$ sean ganadores. Demuestre que Germán siempre puede lograr su objetivo.

6 Hay cinco laboratorios de investigación en Marte. ¿Siempre es posible dividir Marte en cinco regiones conexas y congruentes de modo que cada región contenga exactamente un laboratorio de investigación?

3 Sea $a$ un número real tal que $\frac{1}{a}=a-[a]$ . Demuestre que $a$ es irracional. Aclaración: Los corchetes indican la parte entera del número que encierran.

2 En la isla Babba se usa un alfabeto de dos letras, $a$ y $b$ , y toda sucesión (finita) de letras es una palabra. Para cada conjunto $P$ de seis palabras de $4$ letras cada una, denotamos por $N_P$ el conjunto de todas las palabras que no contienen ninguna de las palabras de $P$ como sílaba (subpalabra). Demuestre que si $N_P$ es finito, entonces todas sus palabras tienen longitud menor o igual que $10$ , y halle un conjunto $P$ tal que $N_P$ sea finito y contenga al menos una palabra de longitud $10$ .

2 Halle todas las soluciones reales de la ecuación $$(x+1)^{2001}+(x+1)^{2000}(x-2)+(x+1)^{1999}(x-2)^2+...+(x+1)^2(x-2)^{1999}+(x+1)^{2000}(x-2)+(x+1)^{2001}=0$$

4 Sea $A_o =\{1, 2\}$ y para $n> 0, A_n$ se obtiene a partir de $A_{n-1}$ añadiendo a $A_{n-1}$ los números naturales que pueden representarse como la suma de dos números distintos de $A_{n-1}$ . Sea $a_n = |A_n |$ el número de elementos de $A_n$ . Determine $a_n$ en función de $n$ .

1 Sean $a>b>c>d$ enteros positivos que satisfacen $a+b+c+d=502$ y $a^2-b^2+c^2-d^2=502$ . Calcule cuántos valores posibles de $ a$ hay.

6 Diremos que un número natural $n$ es adecuado si existen $n$ enteros $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ (que no son necesariamente positivos y pueden repetirse) tales que $$a_1+a_2+\cdots +a_n=a_1a_2 \cdots a_n=n.$$ Determine todos los números adecuados.

5 El capitán repartió $4000$ monedas de oro entre $40$ piratas. Un grupo de $5$ piratas se llama pobre si esos $5$ piratas recibieron, en conjunto, $500$ monedas o menos. El capitán hizo la distribución de modo que hubiera el menor número posible de grupos pobres de $5$ piratas. Determine cuántos grupos pobres de $5$ piratas hay. Aclaración: Dos grupos de $5$ piratas se consideran distintos si hay al menos un pirata en uno de ellos que no está en el otro.

El rectángulo $HOMF$ tiene $HO=11$ y $OM=5$. El triángulo $\vartriangle ABC$ tiene ortocentro $H$ y circuncentro $O$. El punto medio del lado $BC$ es $M$ y el punto donde la altura desde $A$ corta a $BC$ es $F$. Encuentra la longitud de $BC$.