Encuentra la mayor constante real $k$ para la cual la desigualdad \[(a^2 + 3)(b^2 + 3)(c^2 + 3)(d^2 + 3) + k(a - 1)(b - 1)(c - 1)(d - 1) \ge 0\] se cumple para todos los números reales $a$ , $b$ , $c$ y $d$ .

4 Denota por $S_{n}$ al conjunto de todas las permutaciones del conjunto $\{1,2,\dots, n\}$ . Sea $\sigma \in S_{n}$ una permutación. Definimos el $\textit{desplazamiento}$ de $\sigma$ como el número $d(\sigma)=\sum_{i=1}^{n} \vert \sigma(i)-i \vert$ . Vimos que $\sigma$ es $\textit{máximamente}$ $\textit{desplazante}$ si $d(\sigma)$ es lo más grande posible, es decir, si $d(\sigma) \geq d({\pi})$ , para toda $\pi \in S_{n}$ . $\text{a)}$ Supón que $\sigma$ es una permutación máximamente desplazante de $\{1,2, \dots, 2024\}$ . Demuestra que $\sigma(i)\neq i$ , para todo $i \in \{1,2, \dots, 2024.\}$ $\text{b)}$ ¿Se cumple la afirmación del inciso a) para permutaciones de $\{1,2, \dots, 2025\}$ ?

Un número entero $n \geq 2$ se llama feirense si es posible escribir en una hoja de papel algunos enteros de manera que todo divisor positivo de $n$ menor que $n$ sea la diferencia entre dos números de la hoja, y ningún otro número positivo lo sea. Encuentra todos los números feirenses.

El conjunto $S$ es un subconjunto de $\{1, 2, \dots, 2025\}$ tal que no hay dos elementos de $S$ que difieran por $2$ o por $7$. ¿Cuál es el mayor número de elementos que puede tener $S$?

1 Una sucesión está definida como $a_1=2025$ y para todo $n\ge 2$ , $$a_n=\frac{a_{n-1}+1}{n}$$ Determina el menor $k$ tal que $\displaystyle a_k<\frac{1}{2025}$ . Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

Sea $d$ un entero positivo. Define la sucesión $a_1, a_2, a_3, \dots$ tal que \[\begin{cases} a_1 = 1 \\ a_{n+1} = n\left\lfloor\frac{a_n}{n}\right\rfloor + d, \quad n \ge 1.\end{cases}\] Demuestra que existe un entero positivo $M$ tal que $a_M, a_{M+1}, a_{M+2}, \dots$ es una sucesión aritmética.

N5 Para un entero no negativo $n$ defina $\operatorname{rad}(n)=1$ si $n=0$ o $n=1$ , y $\operatorname{rad}(n)=p_1p_2\cdots p_k$ , donde $p_1<p_2<\cdots <p_k$ son todos los factores primos de $n$ . Encuentre todos los polinomios $f(x)$ con coeficientes enteros no negativos tales que $\operatorname{rad}(f(n))$ divide a $\operatorname{rad}(f(n^{\operatorname{rad}(n)}))$ para todo entero no negativo $n$ .

Un número entero positivo está escrito en un pizarrón. Carmela puede realizar la siguiente operación tantas veces como quiera: reemplazar el número actual $x$ por otro entero positivo $y$, siempre que $|x^2 - y^2|$ sea un cuadrado perfecto. Por ejemplo, si el número en el pizarrón es $17$, Carmela puede reemplazarlo por $15$, porque $|17^2 - 15^2| = 8^2$, y luego reemplazarlo por $9$, porque $|15^2 - 9^2| = 12^2$. Si el número en el pizarrón es inicialmente $3$, determina todos los enteros que Carmela puede escribir en el pizarrón después de un número finito de operaciones.

1 Sea $n$ un entero positivo mayor que $2$. Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ que satisfacen: $(f(x+y))^{n} = f(x^{n})+f(y^{n}),$ para todos los enteros $x,y$

Una hormiga está en el plano cartesiano. En un solo movimiento, la hormiga elige un entero positivo $k$, y luego viaja $k$ unidades verticalmente (arriba o abajo) y $2k$ unidades horizontalmente (izquierda o derecha); o bien $k$ unidades horizontalmente (izquierda o derecha) y $2k$ unidades verticalmente (arriba o abajo). Así, para cualquier $k$, la hormiga puede elegir ir a uno de ocho puntos posibles. Demuestra que, para cualesquiera enteros $a$ y $b$, la hormiga puede viajar de $(0, 0)$ a $(a, b)$ usando a lo más $3$ movimientos.