2 Sean $\theta_i \in \left ( 0,\frac{\pi}{4} \right ]$ para $i=1,2,3,4$ . Demuestre que: $\tan \theta _1 \tan \theta _2 \tan \theta _3 \tan \theta _4 \le (\frac{\sin^8 \theta _1+\sin^8 \theta _2+\sin^8 \theta _3+\sin^8 \theta _4}{\cos^8 \theta _1+\cos^8 \theta _2+\cos^8 \theta _3+\cos^8 \theta _4})^\frac{1}{2}$

6 Sea $n$ un entero positivo. En una recta numérica, Azer está en el punto $0$ en su automóvil, que tiene una capacidad de combustible de $2^n$ unidades e inicialmente está lleno. En cada entero positivo $m$ hay una gasolinera. Azer solo se mueve hacia la derecha a velocidad constante y no se detiene en ningún lugar salvo en las gasolineras. Cada vez que su automóvil se mueve hacia la derecha una cierta cantidad, su combustible disminuye en la misma cantidad. Azer puede elegir detenerse en una gasolinera o pasarla. Hay ladrones en algunas gasolineras. (Una gasolinera puede tener varios ladrones.) Si Azer se detiene en una estación que tiene $k\ge 0$ ladrones mientras su automóvil tiene capacidad de combustible $d$ , la nueva capacidad de combustible de su automóvil pasa a ser $\frac{d}{2^k}$ . Después de eso, Azer llena el tanque de su automóvil y abandona la estación. Halle el número mínimo de ladrones necesarios para garantizar que Azer finalmente se quede sin combustible. Propuesto por Mehmet Can Baştemir y Deniz Can Karaçelebi

3 En el conjunto $S$ hay una operación $'' \circ ''$ tal que $\forall a,b \in S$ , existe un único $a \circ b \in S$ . Y (i) $\forall a,b,c \in S$ , $(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)$ . (ii) $a \circ b \neq b \circ a$ cuando $a \neq b$ . Demuestre que: a.) $\forall a,b,c \in S$ , $(a \circ b) \circ c = a \circ c$ . b.) Si $S = \{1,2, \ldots, 1990\}$ , intente definir una operación $'' \circ ''$ en $S$ con las propiedades anteriores.

1 Halle todos los polinomios $P$ con coeficientes reales tales que $\forall{x\in\mathbb{R}}$ se cumple: \[ P(2P(x))=2P(P(x))+2(P(x))^2. \]

1 Sean $a$ , $b$ y $c$ números reales mayores que $1$ . Demuestre la desigualdad $$\frac{ab}{c-1}+\frac{bc}{a - 1}+\frac{ca}{b -1} \ge 12.$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad? (Karl Czakler)

7 Igual que el Problema de Grado 10

6 Asigne a cada lado $b$ de un polígono convexo $P$ el área máxima de un triángulo que tiene a $b$ como lado y está contenido en $P$ . Demuestre que la suma de las áreas asignadas a los lados de $P$ es al menos el doble del área de $P$ . Valentin

4 Para un entero $ m$ , denotemos por $ t(m)$ el único número de $ \{1, 2, 3\}$ tal que $ m + t(m)$ es un múltiplo de $ 3$ . Una función $ f: \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ satisface $ f( - 1) = 0$ , $ f(0) = 1$ , $ f(1) = - 1$ y $ f\left(2^{n} + m\right) = f\left(2^n - t(m)\right) - f(m)$ para todos los enteros $ m$ , $ n\ge 0$ con $ 2^n > m$ . Demuestre que $ f(3p)\ge 0$ se cumple para todos los enteros $ p\ge 0$ . Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria

G6 Sea $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo. Sean $X$ y $Y$ dos puntos interiores distintos del segmento $BC$ tales que $\angle{CAX} = \angle{YAB}$. Supón que: $1)$ $K$ y $S$ son los pies de las perpendiculares trazadas desde $B$ a las rectas $AX$ y $AY$, respectivamente. $2)$ $T$ y $L$ son los pies de las perpendiculares trazadas desde $C$ a las rectas $AX$ y $AY$, respectivamente. Demuestra que $KL$ y $ST$ se intersecan en la recta $BC$.

G9 Dado un semicírculo $(c)$ con diámetro $AB$ y centro $O$. Sobre $(c)$ tomamos un punto $C$ tal que la tangente en $C$ corta a la recta $AB$ en el punto $E$. La recta perpendicular desde $C$ a $AB$ corta al diámetro $AB$ en el punto $D$. Sobre $(c)$ obtenemos los puntos $H, Z$ tales que $CD = CH = CZ$. La recta $HZ$ corta a las rectas $CO, CD, AB$ en los puntos $S, I, K$ respectivamente, y la recta paralela desde $I$ a la recta $AB$ corta a las rectas $CO, CK$ en los puntos $L, M$ respectivamente. Consideramos la circunferencia circunscrita $(k)$ del triángulo $LMD$, que corta de nuevo a las rectas $AB, CK$ en los puntos $P, U$ respectivamente. Sean $(e_1), (e_2), (e_3)$ las tangentes a $(k)$ en los puntos $L, M, P$ respectivamente, y $R = (e_1) \cap (e_2)$, $X = (e_2) \cap (e_3)$, $T = (e_1) \cap (e_3)$. Demuestra que si $Q$ es el centro de $(k)$, entonces las rectas $RD, TU, XS$ pasan por el mismo punto, el cual se encuentra en la recta $IQ$.