1 Encuentra todas las funciones \(f\) definidas en los enteros mayores o iguales que \(1\) que satisfacen: (a) para todo \(n\), \(f(n)\) es un entero positivo. (b) \(f(n + m) = f(n)f(m)\) para todo \(m\) y \(n\). (c) Existe \(n_0\) tal que \(f(f(n_0)) = [f(n_0)]^2\).

2 En cada celda de un tablero de $N$ filas y $N + 1$ columnas se escribe un entero. Demuestra que se pueden eliminar algunas columnas (posiblemente ninguna) de modo que en cada fila la suma de los números que quedan sin tachar sea par.

3 Dados tres puntos $A, B$ y $C$ (no colineales), construye el triángulo equilátero de mayor perímetro tal que cada uno de sus lados pase por uno de los puntos dados.

4 $x$ y $y$ son números reales tales que $6 - x$, $3 + y^2$, $11 + x$, $14 - y^2$ son mayores que cero. Encuentra el máximo de la función $$f(x,y) = \sqrt{(6 -x)(3 + y^2)} + \sqrt{(11 + x)(14 - y^2)}.$$

5 Demuestra que para todo entero $k \ge 2$ existen $k$ números naturales distintos $n_1$ , $n_2$ , $...$ , $n_k$ tales que: $$\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}+...+\frac{1}{n_k}=\frac{3}{17}$$

6 Sea $ABCDE$ un pentágono tal que $AE = ED$ y $BC = CD$. Se sabe que $\angle BAE + \angle EDC + \angle CBA = 360^o$ y que $P$ es el punto medio de $AB$. Demuestra que el triángulo $ECP$ es rectángulo.

1 encuentra todos los enteros $n\geq1$ tales que $\lfloor\sqrt{n}\rfloor \mid n$

2 Consideramos una tabla de $n \times n$, con $n\ge1$. Aya desea colorear $k$ casillas de esta tabla de modo que haya una única manera de colocar $n$ fichas en casillas coloreadas sin que dos fichas estén en la misma fila o columna. ¿Cuál es el valor máximo de $k$ para el cual el deseo de Aya es alcanzable?

3 Encuentra todos los enteros \(k\ge 2\) tales que para todo entero \(n\ge 2\), \(n\) no divide al mayor divisor impar de \(k^n+1\).

3 Sea $\triangle ABC$ un triángulo, y $D$ la intersección de la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ con la mediatriz de $AC$. La recta paralela a $AC$ que pasa por el punto $B$ interseca a la recta $AD$ en $X$. La recta paralela a $CX$ que pasa por el punto $B$ interseca a $AC$ en $Y$. Sea $E = (AYB) \cap BX$. Demuestra que $C$, $D$ y $E$ son colineales.