Sea $\mathcal{S}$ un conjunto formado por $n \ge 3$ enteros positivos, ninguno de los cuales es suma de otros dos miembros distintos de $\mathcal{S}$ . Demuestre que los elementos de $\mathcal{S}$ pueden ordenarse como $a_1, a_2, \dots, a_n$ de modo que $a_i$ no divide a $a_{i - 1} + a_{i + 1}$ para todo $i = 2, 3, \dots, n - 1$ .

Suponga que $a,b,c,d$ son números reales positivos que satisfacen $(a+c)(b+d)=ac+bd$ . Halle el menor valor posible de $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}.$$ Israel

¿Existen infinitos enteros positivos que no se pueden expresar en la forma \[(a+b)+\log_2(b+c)-2^{c+a},\] donde $a,b,c$ son enteros positivos?

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Los puntos $K, L, M, N$ se eligen sobre $AB, BC, CD, DA$ de modo que $KLMN$ es un rombo con $KL \parallel AC$ y $LM \parallel BD$ . Sean $\omega_A, \omega_B, \omega_C, \omega_D$ las circunferencias inscritas de $\triangle ANK, \triangle BKL, \triangle CLM, \triangle DMN$ . Demuestre que las tangentes internas comunes a $\omega_A$ y $\omega_C$ y las tangentes internas comunes a $\omega_B$ y $\omega_D$ son concurrentes.

En un 100-ágono regular, 41 vértices están coloreados de negro y los 59 vértices restantes están coloreados de blanco. Demuestre que existen 24 cuadriláteros convexos $Q_{1}, \ldots, Q_{24}$ cuyos vértices son vértices del 100-ágono, de modo que los cuadriláteros $Q_{1}, \ldots, Q_{24}$ son disjuntos dos a dos, y todo cuadrilátero $Q_{i}$ tiene tres vértices de un color y un vértice del otro color.

Considere cualquier tabla rectangular con un número finito de filas y columnas, con un número real $a(r, c)$ en la celda de la fila $r$ y la columna $c$ . Un par $(R, C)$ , donde $R$ es un conjunto de filas y $C$ un conjunto de columnas, se denomina par de silla si se satisfacen las dos condiciones siguientes: $(i)$ Para cada fila $r^{\prime}$ , existe $r \in R$ tal que $a(r, c) \geqslant a\left(r^{\prime}, c\right)$ para todo $c \in C$ ; $(ii)$ Para cada columna $c^{\prime}$ , existe $c \in C$ tal que $a(r, c) \leqslant a\left(r, c^{\prime}\right)$ para todo $r \in R$ . Un par de silla $(R, C)$ se denomina par minimal si para todo par de silla $\left(R^{\prime}, C^{\prime}\right)$ con $R^{\prime} \subseteq R$ y $C^{\prime} \subseteq C$ , se tiene $R^{\prime}=R$ y $C^{\prime}=C$ . Demuestre que dos pares minimales cualesquiera contienen el mismo número de filas.

Para cada primo $p$ , construya un grafo $G_p$ sobre $\{1,2,\ldots p\}$ , donde $m\neq n$ son adyacentes si y solo si $p$ divide a $(m^{2} + 1-n)(n^{2} + 1-m)$ . Demuestre que $G_p$ es disconexo para infinitos $p$

En el plano hay $n \geqslant 6$ discos disjuntos dos a dos $D_{1}, D_{2}, \ldots, D_{n}$ con radios $R_{1} \geqslant R_{2} \geqslant \ldots \geqslant R_{n}$ . Para cada $i=1,2, \ldots, n$ , se elige un punto $P_{i}$ en el disco $D_{i}$ . Sea $O$ un punto arbitrario del plano. Demuestre que \[O P_{1}+O P_{2}+\ldots+O P_{n} \geqslant R_{6}+R_{7}+\ldots+R_{n}.\] (Se supone que un disco contiene su frontera.)

Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Demuestre que para $a_1, \dots, a_n \in [1,2^k]$ se tiene \[ \sum_{i = 1}^n \frac{a_i}{\sqrt{a_1^2 + \dots + a_i^2}} \le 4 \sqrt{kn}. \]

Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$ , incentro $I$ y excentro opuesto a $A$ , $I_{A}$ . La circunferencia inscrita corta a $BC$ en $D$ . Defina $E = AD\cap BI_{A}$ , $F = AD\cap CI_{A}$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de $\triangle AID$ y $\triangle I_{A}EF$ son tangentes entre sí