1 En el triángulo $\vartriangle ABC$ se tiene $| AB |^3 = | AC |^3 + | BC |^3$ . Demuestre que $\angle C> 60^o$ .

4 Demuestre que existe una única función polinómica f con coeficientes enteros positivos tal que $f(1) = 6$ y $f(2) = 2016$ .

1 Los lados y los vértices de un pentágono están etiquetados con los números del $1$ al $10$ de manera que la suma de los números de cada lado es la misma. ¿Cuál es el menor valor posible de esta suma?

3 Un grupo de personas se reparte en dos autobuses de tal manera que hay tantos asientos en total como personas. La probabilidad de que dos amigos estén sentados en el mismo autobús es $\frac{1}{2}$ . a) Demuestre que el número de personas del grupo es un cuadrado. b) Demuestre que el número de asientos de cada autobús es un número triangular.

2 Considere dos puntos $Y$ y $X$ en un plano y un punto variable $P$ que no está sobre $XY$ . Sea la recta paralela a $YP$ que pasa por $X$ la que corta a la bisectriz interna del ángulo $\angle XYP$ en $A$ , y sea la recta paralela a $XP$ que pasa por $Y$ la que corta a la bisectriz interna del ángulo $\angle YXP$ en $B$ . Sea $AB$ la recta que corta a $XP$ y a $YP$ en $S$ y $T$ , respectivamente. Demuestre que el producto $|XS|*|YT|$ no depende de la posición de $P$ .

2 Determine el menor número natural $n$ tal que $n^n$ no sea divisor del producto $1\cdot 2\cdot 3\cdot ... \cdot 2015\cdot 2016$ .

1 En el cuadrilátero $ABCD$ se tiene $AD \parallel BC$ y los ángulos $\angle A$ y $\angle D$ son agudos. Las diagonales se intersecan en $P$ . Las circunferencias circunscritas de $\vartriangle ABP$ y $\vartriangle CDP$ intersecan a la recta $AD$ nuevamente en $S$ y $T$ respectivamente. Llámese $M$ al punto medio de $[ST]$ . Demuestre que $\vartriangle BCM$ es isósceles. https://1.bp.blogspot.com/-C5MqC0RTqwY/Xy1fAavi_aI/AAAAAAAAMSM/2MXMlwb13McCYTrOHm1ZzWc0nkaR1J6zQCLcBGAsYHQ/s0/flanders%2B2016%2Bp1.png

4 Demuestre que para $n \geq 5$ , los enteros $1, 2, \ldots n$ pueden dividirse en dos grupos de modo que la suma de los enteros de un grupo sea igual al producto de los enteros del otro grupo.

1 (a) Demuestre la ley del paralelogramo, que afirma que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las longitudes de los cuatro lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos diagonales. (b) Las aristas de un tetraedro tienen longitudes $a, b, c, d, e$ y $f$ . Los tres segmentos de recta que conectan los centros de las aristas que se intersecan tienen longitudes $x, y$ y $z$ . Demuestre que $$4 (x^2 + y^2 + z^2) = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + f^2$$

2017.1.4 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con el ángulo recto en $B$ y sea $D$ un punto en el segmento $AC$ distinto de $A$ y de $C$. $E$ es la segunda intersección de la circunferencia circunscrita de $BCD$ y el círculo con centro en $C$ y radio $CD$. La recta que pasa por $A$ paralela a $DE$ interseca a $BC$ en $F$. Sea $X$ un punto en la recta $BC$ distinto de $F$ tal que $XB=BF$ y sea $Y$ la segunda intersección de las circunferencias circunscritas de $BCD$ y $AXC$. Demuestra que $Y,F,D$ son colineales.