4 Hay $18$ niños en la clase. Los padres decidieron dar a los niños de esta clase un pastel. Para ello, primero preguntaron a cada niño el área del trozo que desea recibir. Después, mostraron un pastel de forma cuadrada cuyo área es exactamente igual a la suma de los $18$ números mencionados. Sin embargo, al ver el pastel, los niños quisieron que sus trozos fueran también cuadrados. Los padres cortan el pastel con líneas paralelas a los lados del pastel (los cortes no tienen que comenzar ni terminar en el lado del pastel). ¿Para qué máximo k los padres tienen garantizado recortar del pastel $k$ trozos cuadrados, que puedan dar a $k$ niños de modo que cada uno reciba lo que desea?

5 Se da una sucesión infinita de números $a_1, a_2,...$ en la que no hay dos miembros iguales. Un segmento $a_i, a_{i+1}, ..., a_{i+m-1}$ de esta sucesión se llama segmento monótono de longitud $m$ si $a_i < a_{i+1} <...<a_{i+m-1}$ o $a_i > a_{i+1} >... > a_{i+m-1}$ . Resultó que para cada natural $k$ el término $a_k$ está contenido en algún segmento monótono de longitud $k + 1$ . Demuestre que existe un natural $N$ tal que la sucesión $a_N , a_{N+1} ,...$ es monótona.

4 Igual que 10.4

7 Hay $998$ ciudades en un país. Algunos pares de ciudades están conectados por vuelos de ida y vuelta. Según la ley, entre cualquier par de ciudades no debe haber más de un vuelo. Otra ley exige que para cualquier grupo de ciudades no haya más de $5k+10$ vuelos que conecten dos ciudades de este grupo, donde $k$ es el número de ciudades del grupo. Demuestre que se pueden introducir varios vuelos nuevos de modo que las leyes sigan cumpliéndose y el número total de vuelos en el país sea igual a $5000$ .

8 Una circunferencia $\omega$ está inscrita en el triángulo $ABC$ y es tangente al lado $BC$ en el punto $K$ . La circunferencia $\omega'$ es simétrica de la circunferencia $\omega$ con respecto al punto $A$ . El punto $A_0$ se elige de modo que los segmentos $BA_0$ y $CA_0$ sean tangentes a $\omega'$ . Sea $M$ el punto medio del lado $BC$ . Demuestre que la recta $AM$ biseca al segmento $KA_0$ .

1 Igual que 9.1

2 Sobre el lado $BC$ de un triángulo acutángulo $ABC$ se marcan los puntos $D$ y $E$ de modo que $BD = CE$ . En el arco $DE$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ADE$ que no contiene al punto $A$ , hay puntos $P$ y $Q$ tales que $AB = PC$ y $AC = BQ$ . Demuestre que $AP=AQ$ .

4 Se da un número natural $n>4$ . Hay $n$ puntos marcados en el plano, sin que tres de ellos estén sobre la misma recta. Vasily dibuja uno por uno todos los segmentos que conectan pares de puntos marcados. En cada paso, al dibujar el siguiente segmento $S$ , Vasily lo marca con el menor número natural que no haya aparecido en un segmento dibujado que tenga un extremo común con $S$ . Halle el valor máximo de $k$ para el cual Vasily puede actuar de modo que pueda marcar algún segmento con el número $k$ .

2 En el plano coordenado se dibujan las gráficas de las funciones $y=sin x$ y $y=tan x$ , junto con los ejes coordenados. Usando compás y regla, construya una recta tangente a la gráfica del seno en un punto por encima del eje $Ox$ , así como en un punto por debajo de ese eje (la recta también puede cortar a la gráfica en varios otros puntos).

7 El punto $E$ se marca sobre el lado $BC$ del paralelogramo $ABCD$ , y sobre el lado $AD$ , el punto $F$ , de modo que la circunferencia circunscrita de $ABE$ sea tangente al segmento $CF$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $CDF$ es tangente a la recta $AE$ .