1 En un hexágono convexo cíclico $ABCDEF$ , $AB$ y $DC$ se cortan en $G$ , $AF$ y $DE$ se cortan en $H$ . Sean $M, N$ los circuncentros de $BCG$ y $EFH$ , respectivamente. Demuestre que $BE$ , $CF$ y $MN$ son concurrentes.

2 Sea $p$ un primo, $A$ un conjunto infinito de enteros. Demuestre que existe un subconjunto $B$ de $A$ con $2p-2$ elementos, tal que la media aritmética de cualesquiera $p$ elementos de $B$ distintos dos a dos no pertenece a $A$ .

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $\angle ACB>2 \angle ABC$ . Sea $I$ el incentro de $ABC$ , $K$ el reflejo de $I$ respecto de la recta $BC$ . Las rectas $BA$ y $KC$ se cortan en $D$ . La recta que pasa por $B$ paralela a $CI$ corta al arco menor $BC$ de la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $E(E \neq B)$ . La recta que pasa por $A$ paralela a $BC$ corta a la recta $BE$ en $F$ . Demuestre que si $BF=CE$ , entonces $FK=AD$ .

3 Sea \( n \) un entero mayor o igual que 2. Hay \( n \) islas \( I_1, I_2, \dots, I_n \) , y entre cualesquiera dos islas distintas hay exactamente una carretera que las conecta, la cual se puede recorrer en ambas direcciones. Cada carretera es administrada por exactamente una de varias compañías de carreteras. La permutación \( p(1), p(2), \dots, p(n) \) de \( 1, 2, \dots, n \) satisface la siguiente condición: para cualquier compañía de carreteras, existe un entero \( i \) (donde \( 1 \leq i \leq n-1 \) ) tal que la carretera que conecta \( I_{p(i)} \) e \( I_{p(i+1)} \) es administrada por esa compañía. Determine el número máximo posible de compañías de carreteras. Aquí, una permutación \( p(1), p(2), \dots, p(n) \) significa que cada uno de \( 1, 2, \dots, n \) aparece exactamente una vez en la sucesión.

4 Halle todos los enteros positivos $a,b,c$ y el primo $p$ que satisfacen \[ 2^a p^b=(p+2)^c+1.\]

12 Considere el triángulo $ABC$ con $\angle A= 90^{\circ}$ y $\angle B \not= \angle C$ . Un círculo $\mathcal{C}(O,R)$ pasa por $B$ y $C$ e interseca a los lados $AB$ y $AC$ en $D$ y $E$ , respectivamente. Sea $S$ el pie de la perpendicular desde $A$ a $BC$ y sea $K$ el punto de intersección de $AS$ con el segmento $DE$ . Si $M$ es el punto medio de $BC$ , demuestre que $AKOM$ es un paralelogramo.

1 Sea $N=\overline{abcd}$ un entero positivo de cuatro cifras. Llamamos potencia plátano al menor entero positivo $p(N)=\overline{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_k}$ que puede insertarse entre los números $\overline{ab}$ y $\overline{cd}$ de tal manera que el nuevo número $\overline{ab\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_kcd}$ sea divisible por $N$ . Determine el valor de $p(2025)$ .

2016 g3.2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, $\Gamma$ su circunferencia circunscrita y $M$ el punto medio de $BC$ . Sea $N$ un punto del arco $BC$ de $\Gamma$ que no contiene a $A$ tal que $\angle NAC= \angle BAM$ . Sea $R$ el punto medio de $AM$ , $S$ el punto medio de $AN$ y $T$ el pie de la altura trazada por $A$ . Demuestre que $R$ , $S$ y $T$ son colineales.

2016 g2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $D$ , $E$ y $F$ puntos sobre los lados $BC$ , $AC$ y $AB$ , respectivamente, tales que $AD$ , $BE$ y $CF$ son concurrentes. Sean $X, Y$ y $Z$ puntos sobre los lados $BC$ , $AC$ y $AB$ , respectivamente, tales que los triángulos $AFY$ , $ZBD$ y $EXC$ son semejantes. Demuestre que $AX$ , $BY$ y $CZ$ son concurrentes.

2 Un número $n$ es interesante si 2018 divide a $d(n)$ (el número de divisores positivos de $n$ ) . Determine todos los enteros positivos $k$ tales que existe una progresión aritmética infinita con diferencia común $k$ cuyos términos son todos interesantes.