2008.4 Dado un paralelogramo $ABCD$ y un punto $M_0$ en el plano. Usando la rotación $$R_{A}^{90^\circ}(M_0)=M_1,\quad R_{B}^{90^\circ}(M_1)=M_2,\quad R_{C}^{90^\circ}(M_2)=M_3,\quad R_{D}^{90^\circ}(M_3)=M_4,\ldots$$ y así sucesivamente, determine la sucesión de puntos $\{M_1,M_2,\ldots\}$ . Demuestre que $ABCD$ es un cuadrado si $M_0=M_{2008}$ .

6 Un cubo de \(10\times 10\times 10\) está subdividido en \(1000\) cubos unitarios mediante planos paralelos a sus caras. Inicialmente, todos los cubos unitarios son blancos. Alejo y Beto juegan el siguiente juego. Alejo elige una o más tiras disjuntas de \(1\times 1\times 10\) en cualquiera de las tres direcciones posibles del cubo, con la condición de que dos tiras elegidas no tengan ningún punto en común, y colorea de negro todos los cubos unitarios en esas tiras. Luego Beto, que no puede ver el cubo, selecciona algunos cubos unitarios y le pregunta a Alejo por sus colores. Determina el número mínimo de cubos unitarios que Beto debe seleccionar para poder determinar con certeza todos los cubos unitarios negros a partir de las respuestas de Alejo.

2009.3 Dada una circunferencia $\omega$ . Esta circunferencia es tangente interiormente a $6$ circunferencias, y cualesquiera dos circunferencias adyacentes son tangentes entre sí. Sean $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ y $F$ los puntos de tangencia de estas seis circunferencias con $\omega$ . Entonces demuestre que las diagonales principales $AD$ , $BE$ y $CF$ del $6$ -gono $ABCDEF$ se intersecan en un punto .

2009.5 Se trazan las bisectrices de $AA_1$ , $BB_1$ y $CC_1$ del triángulo $ABC$ . Sea $AA_1\cap B_1C_1=X$ y sea $Y$ el pie de la perpendicular trazada desde $X$ a $BC$ . Sea $Z$ el punto de intersección de las bisectrices de $\measuredangle BC_1Y$ y $\measuredangle CB_1Y$ . Entonces demuestre que los puntos $A$ , $Y$ y $Z$ están sobre la misma recta.

2010.1 Las circunferencias $\gamma_1$ y $\gamma_2$ son tangentes exteriormente en el punto $S$ . Sea $\omega$ una circunferencia tangente a las circunferencias $\gamma_1$ y $\gamma_2$ en los puntos $P$ y $Q$ , respectivamente. Sea $R$ el punto de intersección de la tangente común a la circunferencia $\omega$ y a las circunferencias $\gamma_1$ y $\gamma_2$ en el punto $S$ . Suponga además que las rectas $RP$ y $RQ$ intersecan a las circunferencias $\gamma_1$ y $\gamma_2$ en los puntos $A$ y $B$ , y que la recta $PQ$ interseca a las circunferencias $\gamma_1$ y $\gamma_2$ en los puntos $C$ y $D$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $RS$ , $AC$ y $BD$ se intersecan en un único punto.

2010.6 Sea $X_{AB}$ la tangente a la circunferencia $\omega$ que pasa por los puntos $A$ y $B$ (la cual contiene a $\omega$ ) . De manera análoga, sean $X_{BC}$ , $X_{CD}$ , $X_{DA}$ (correspondientes a los lados $BC$ , $CD$ , $DA$ ) . Demuestre que las bisectrices de los ángulos $\measuredangle AX_{AB}B$ , $\measuredangle BX_{BC}C$ , $\measuredangle CX_{CD}D$ y $\measuredangle DX_{DA}A$ se intersecan en un único punto.

2011.1 Dado un cuadrilátero convexo $ABCD$ que es a la vez inscrito y circunscrito. Sea $I$ el centro de la circunferencia inscrita, $X$ el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABI$ , $R$ el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $BCI$ , $Z$ el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $CDI$ y $T$ el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $DAI$ . Demuestre que $XZ\perp RT$ .

2011.6 En un triángulo rectángulo $ABC$ , el lado $AB$ interseca al lado $AC$ en el punto $M$ , el lado $N$ interseca a la recta $BC$ en el punto $P$ . Sea $X$ el punto medio del segmento $NM$ , $Y$ el punto medio del segmento $MB$ , $Z$ el punto medio del segmento $BC$ y $T$ el punto medio del segmento $CN$ . Demuestre que los ortocentros de los triángulos $AMN$ , $AYT$ , $PBM$ y $PXZ$ están sobre la misma recta.

2012.2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $\angle DAC=\angle DCA=\angle ABC$ . Sea una recta trazada por el vértice $D$ y paralela a $AC$ que interseca a las rectas $BA$ y $BC$ en los puntos $E$ y $F$ , respectivamente. Demuestre que si $CE\cap AF=U$ , entonces los cuadriláteros formados por las proyecciones de los lados del cuadrilátero $ABCD$ respecto al punto $U$ son trapecios isósceles.

2013.2 Para un punto $X$ sobre el lado $AC$ del triángulo $ABC$ , la recta $BX$ interseca nuevamente a la circunferencia $\omega$ circunscrita al triángulo $ABC$ en el punto $D$ . Sean $O_1$ y $O_2$ los centros de las circunferencias circunscritas a los triángulos $AXD$ y $CXD$ . Demuestre que si la circunferencia circunscrita al triángulo $DO_1O_2$ interseca a la circunferencia $\omega$ en un punto $T$ distinto de $D$ , entonces $T$ no depende de la elección de $X$ .