2000.2 Las circunferencias $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ con centros $O_1,O_2,O_3$ , respectivamente, son tangentes exteriormente entre sí. La circunferencia $\omega_1$ toca a $\omega_2$ en $P_1$ y a $\omega_3$ en $P_2$ . Para todo punto $A$ en $\omega_1$ , $A_1$ denota el punto simétrico de $A$ con respecto a $O_1$ . Demuestre que los puntos de intersección de $AP_2$ con $\omega_3$ , de $A_1P_3$ con $\omega_2$ , y de $AP_3$ con $A_1P_2$ están sobre una recta.

2001.2 En un triángulo acutángulo $ABC$ , $a,b,c$ son los lados, $m_a,m_b,m_c$ las medianas correspondientes, $R$ el circunradio y $r$ el inradio. Demuestre la desigualdad $$\frac{a^2+b^2}{a+b}\cdot\frac{b^2+c^2}{b+c}\cdot\frac{a^2+c^2}{a+c}\ge16R^2r\frac{m_a}a\cdot\frac{m_b}b\cdot\frac{m_c}c.$$

2001.5 Sean $A,B,C,D,E,F$ los puntos medios de los lados consecutivos de un hexágono con lados opuestos paralelos. Demuestre que los puntos $AB\cap DE$ , $BC\cap EF$ , $AC\cap DF$ están sobre una recta.

2002.3 La circunferencia inscrita de un triángulo $ABC$ con $AB\ne BC$ toca a $BC$ en $A_1$ y a $AC$ en $B_1$ . Los segmentos $AA_1$ y $BB_1$ cortan a la circunferencia inscrita en $A_2$ y $B_2$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $AB,A_1B_1,A_2B_2$ son concurrentes.

2002.6 Sean $A_1,B_1,C_1$ los puntos medios de los lados $BC,CA,AB$ , respectivamente, de un triángulo $ABC$ . Se toman puntos $K$ sobre el segmento $C_1A_1$ y $L$ sobre el segmento $A_1B_1$ tales que $$\frac{C_1K}{KA_1}=\frac{BC+AC}{AC+AB}\enspace\enspace\text{and}\enspace\enspace\frac{A_1L}{LB_1}=\frac{AC+AB}{BC+AB}.$$ Si $BK$ y $CL$ se cortan en $S$ , demuestre que $\angle C_1A_1S=\angle B_1A_1S$ .

2003.3 Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ y sea $O$ el centro del círculo circunscrito. Para cualquier punto $E$ sobre la recta $CO$ , demuestre que si $AH\cap BE=M$ y $BH\cap AE=N$ , entonces $\measuredangle ACN=\measuredangle BCM$ .

3 Sea $n$ un entero positivo. (a) Demuestra que existe un conjunto $S$ de $6n$ enteros positivos distintos por pares, tal que el mínimo común múltiplo de cualesquiera dos elementos de $S$ no sea mayor que $32n^2$. (b) Demuestra que todo conjunto $T$ de $6n$ enteros positivos distintos por pares contiene dos elementos cuyo mínimo común múltiplo es mayor que $9n^2$.

2003.4 Los círculos $\omega$ y $\omega_1$ son tangentes en el punto $D$. Los lados $AC$ y $AB$ son tangentes al círculo $\omega_1$. Demuestre que la recta que contiene a la bisectriz del ángulo $\measuredangle CDB$ pasa por el centro del excírculo correspondiente a $A$ del triángulo $ABC$ (tangente al lado $CB$.

2005.2 Dado un círculo $ T$ y un triángulo $ ABC$ situado en el interior de $ T$ . Un círculo tangente interiormente al círculo $ T$ en el punto $ A_1$ es tangente a los rayos $ BA, CA$ más allá del vértice $ A$ . Análogamente se definen los puntos $ B_1, C_1$ situados sobre $ T$ . Demuestre que las rectas $ AA_1, BB_1, CC_1$ son colineales.

2005.4 El triángulo acutángulo $ABC$ tiene las alturas $AH_{1}$ , $BH_{2}$ y las bisectrices $AL_{1}$ , $AL_{2}$ . Sea $O$ el circuncentro y sea $I$ el incentro. Demuestre que $L_1, O, L_2$ son colineales si y solo si $H_1, I, H_2$ son colineales.