4 Halle el menor número natural no nulo n tal que existan números reales $x_1, x_2,..., x_n$ que verifiquen simultáneamente las condiciones: 1) $x_i \in [1/2 , 2]$ , $i = 1, 2,... , n$ 2) $x_1+x_2+...+x_n \ge \frac{7n}{6}$ 3) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\ge \frac{4n}{3}$

5 Sean los números reales $a, b, c$ tales que $a \ge b \ge c > 0$ . Demuestre que $$\frac{a^2-b^2}{c}+ \frac{c^2-b^2}{a}+ \frac{a^2-c^2}{b}\ge 3a - 4b + c.$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?

6 Demuestre que entre cualesquiera 39 números naturales consecutivos hay un número cuya suma de dígitos es divisible por 11.

8 Demuestre que los números $18^n$ y $2^n + 18^n$ tienen el mismo número de dígitos (escritos en base 10), para todo número natural $n$ .

1 Resuelva en $R$ el sistema: $$\begin{cases} \dfrac{xyz}{x + y + 1}= 1998000\\ \\ \dfrac{xyz}{y + z - 1}= 1998000 \\ \\ \dfrac{xyz}{z+x}= 1998000 \end{cases}$$

2 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo isósceles con $\angle A=90^o$ . El punto $D$ es el punto medio del lado $[AC]$ , y el punto $E \in [AC]$ es tal que $EC = 2AE$ . Calcule $\angle AEB + \angle ADB$ .

3 En el pizarrón está escrito un número con nueve dígitos no nulos y distintos. Demuestre que podemos eliminar a lo sumo siete dígitos de modo que el número formado por los dígitos restantes sea un cuadrado perfecto.

4 Sea $ABC$ un triángulo equilátero de área $1998$ c m $^2$ . Los puntos $K, L, M$ dividen los segmentos $[AB], [BC] ,[CA]$ , respectivamente, en la razón $3:4$ . La recta $AL$ interseca las rectas $CK$ y $BM$ respectivamente en los puntos $P$ y $Q$ , y la recta $BM$ interseca la recta $CK$ en el punto $R$ . Halle el área del triángulo $PQR$ .

5 Sea el conjunto $M =\{\frac{1998}{1999},\frac{1999}{2000} \}$ . El conjunto $M$ se completa con nuevas fracciones según la regla: se toman dos fracciones distintas $ \frac{p_1}{q_1}$ y $\frac{p_2}{q_2}$ de $M$ tales que no haya otros números de $M$ situados entre ellas, y se forma una nueva fracción, $\frac{p_1+p_2}{q_1+q_2}$ , que se incluye en $M$ , etc. Demuestre que, después de cada procedimiento, la fracción recién obtenida es irreducible y es distinta de las fracciones previamente incluidas en $M$ .

1 Sean \( u, v, w \) números reales positivos. Demuestre que existe una permutación cíclica \( (x, y, z) \) de \( (u, v, w) \) tal que la desigualdad: \[ \frac{a}{xa + yb + zc} + \frac{b}{xb + yc + za} + \frac{c}{xc + ya + zb} \geq \frac{3}{x + y + z} \] se cumple para todos los números reales positivos \( a, b \) y \( c \) .