11.5 Determine el menor entero positivo $n$ tal que tanto $n^3-n$ como $(n+1)^3-(n+1)$ son divisibles por $2025$ . V. Kamianetski

10.6 Con una sucesión de ceros y unos, Vasya realiza movimientos de la siguiente forma hasta que el proceso se detiene: 1. Si el primer dígito de la sucesión es cero, ese dígito se borra. 2. Si el primer dígito es uno y hay al menos dos dígitos, Vasya intercambia los dos primeros dígitos, invierte la sucesión y reemplaza los unos por ceros y los ceros por unos. 3. Si la sucesión está vacía o consta de un solo uno, el proceso se detiene. Determine el número de sucesiones de longitud 2025 a partir de las cuales Vasya puede llegar a la sucesión vacía. M. Zorka

11.7 Los números reales positivos $a_1>a_2>\ldots>a_n$ con suma $s$ son tales que la ecuación $nx^2-sx+1=0$ tiene una raíz positiva $a_{n+1}$ menor que $a_n$ . Demuestre que existe un entero positivo $r \leq n$ tal que se cumple la desigualdad $a_ra_{r+1} \geq \frac{1}{r}$ . M. Zorka

11.6 El punto $H$ es el pie de la altura desde $A$ del triángulo $ABC$ . Sobre las rectas $AB$ y $AC$ se marcan los puntos $X$ e $Y$ tales que las circunferencias circunscritas de los triángulos $BXH$ y $CYH$ son tangentes; llamemos a estas circunferencias $w_B$ y $w_C$ respectivamente. Las rectas tangentes a las circunferencias $w_B$ y $w_C$ en $X$ e $Y$ se intersecan en $Z$ . Demuestre que $ZA=ZH$ . V. Kamianetski

11.4 Un conjunto finito $S$ está formado por primos, y $3$ no está en $S$ . Demuestre que existe un entero positivo $M$ tal que para todo $p \in S$ se pueden reordenar los dígitos de $M$ para obtener un número divisible por $p$ y no divisible por ninguno de los demás números de $S$ . (Nota: el primer dígito de un entero positivo no puede ser cero). A. Voidelevich

5 Los puntos $K$ y $L$ están sobre el lado $AB$ del triángulo $ABC$ tales que $KL=BC$ y $AK=LB$. Sea $M$ el punto medio de $AC$. Demuestre que $\angle KML = 90^{\circ}$

11.3 Se da un triángulo arbitrario $ABC$ . Usando regla y compás, construya tres circunferencias tangentes entre sí dos a dos $w_A$ , $w_B$ , $w_C$ con radios iguales tales que $A \in w_A, B \in w_B, C \in w_C$ . M. Zorka

11.2 Una moneda roja se coloca en una casilla de un tablero de $2n \times 2n$ . En cada movimiento puede moverse como un alfil y cambiar de color (de rojo a azul, de azul a rojo), o moverse como un caballo y no cambiar de color. Después de un tiempo, la moneda ha visitado cada casilla exactamente dos veces. Demuestre que el número de casillas en las que la moneda estuvo tanto roja como azul es par. M. Zorka

2 Suponga $\frac{1}{2} < s < 1$ . Un insecto vuela sobre $[0,1]$ . Si está en el punto $a$ , salta al punto $ a\times s$ o a $(a-1) \times s +1$ . Para todo número real $0 \le c \le 1$ , demuestre que el insecto puede saltar de manera que, después de algunos saltos, se encuentre a una distancia menor que $\frac {1}{1402}$ del punto $c$ . Propuesto por Navid Safaei

1 Demuestre que para todo número natural $n$ existen $n$ números naturales $ x_1 < x_2 < ... < x_n $ tales que $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_1x_2...x_n}\in \mathbb{N}\cup {0}$$ (15 puntos)