2 Encuentra todas las funciones reales \(f\) definidas en \(\mathbb R\), tales que \[f(f(x)+y) = f(f(x)-y)+4f(x)y ,\] para todos los números reales \(x,y\).

3 Encuentra todos los enteros positivos \(n\) tales que existe una permutación \(\sigma\) del conjunto \(\{1,2,3, \ldots, n\}\) para la cual \[\sqrt{\sigma(1)+\sqrt{\sigma(2)+\sqrt{\ldots+\sqrt{\sigma(n-1)+\sqrt{\sigma(n)}}}}}\] es un número racional.

4 Para un entero positivo dado \(n >2\) , sean \(C_{1},C_{2},C_{3}\) los bordes de tres \(n-\)ágonos convexos en el plano, tales que \(C_{1}\cap C_{2}, C_{2}\cap C_{3},C_{1}\cap C_{3}\) son finitos. Encuentra el número máximo de puntos de los conjuntos \(C_{1}\cap C_{2}\cap C_{3}\) .

1 El polinomio $ P(x)=x^3+ax^2+bx+d$ tiene tres raíces reales distintas. El polinomio $ P(Q(x))$ , donde $ Q(x)=x^2+x+2001$ , no tiene raíces reales. Demuestre que $ P(2001)>\frac{1}{64}$ .

1 Determina todos los pares de números naturales $a$ y $b$ tales que $\frac{a+1}{b}$ y $\frac{b+1}{a}$ son números naturales.

2 En el pizarrón están escritos varios números primos (algunos repetidos). Mauro sumó los números del pizarrón y Fernando multiplicó los números del pizarrón. El resultado que obtuvo Fernando es igual a $40$ veces el resultado que obtuvo Mauro. Determina cuáles pueden ser los números del pizarrón. Da todas las posibilidades.

Escribe un entero positivo en cada casilla de modo que: Los seis números sean todos distintos. La suma de los seis números sea $100$ . Si cada número se multiplica por su vecino (en sentido horario) y se suman los seis resultados de esas seis multiplicaciones, se obtiene el menor valor posible. Explica por qué no se puede obtener un valor menor.

4 Demuestra que si $x$ , $y$ , $z$ son números reales positivos y $xyz = 1$ entonces \[\frac{x^3}{x^2+y}+\frac{y^3}{y^2+z}+\frac{z^3}{z^2+x}\geq \dfrac {3} {2}.\] A. Golovanov

7 Un tetraedro $ABCD$ tiene todas sus aristas de longitud menor que $100$ , y contiene dos esferas disjuntas de diámetro $1$ . Demuestre que contiene una esfera de diámetro $1.01$ .

1 Sean $x_1$ , $x_2$ , $\cdots$ , $x_n$ números reales positivos, y sea \[ S = x_1 + x_2 + \cdots + x_n. \] Demuestra que \[ (1 + x_1)(1 + x_2) \cdots (1 + x_n) \leq 1 + S + \frac{S^2}{2!} + \frac{S^3}{3!} + \cdots + \frac{S^n}{n!} \]