Sea $n$ un entero positivo par. Demuestra que existe una permutación $\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)$ de $\left(1,\,2,\,\ldots,n\right)$ tal que para cada $i\in\left\{1,\ 2,\ ...,\ n\right\}$, el número $x_{i+1}$ es uno de los números $2x_{i}$, $2x_{i}-1$, $2x_{i}-n$, $2x_{i}-n-1$. Aquí usamos la convención de subíndices cíclicos, de modo que $x_{n+1}$ significa $x_{1}$.

1 Un cuadrilátero convexo $ABCD$ tiene diagonales perpendiculares. Las mediatrices de los lados $AB$ y $CD$ se cortan en un único punto $P$ dentro de $ABCD$. Demuestra que el cuadrilátero $ABCD$ es cíclico si y solo si los triángulos $ABP$ y $CDP$ tienen áreas iguales.

3 Sea $ABC$ un triángulo con baricentro $G$. Determina, con demostración, la posición del punto $P$ en el plano de $ABC$ tal que $AP{\cdot}AG + BP{\cdot}BG + CP{\cdot}CG$ sea mínimo, y expresa este valor mínimo en términos de las longitudes de los lados de $ABC$.

2 En un concurso, hay $m$ candidatos y $n$ jueces, donde $n\geq 3$ es un entero impar. Cada candidato es evaluado por cada juez como aprobado o reprobado. Supón que cada par de jueces coincide en a lo más $k$ candidatos. Demuestra que \[{\frac{k}{m}} \geq {\frac{n-1}{2n}}. \]

6 Determina el menor valor posible de \(f(1998)\), donde \(f:\Bbb{N}\to \Bbb{N}\) es una función tal que para todos \(m,n\in {\Bbb N}\), \[f\left( n^{2}f(m)\right) =m\left( f(n)\right) ^{2}.\]

5 Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$. Sean $K$, $L$ y $M$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita de $ABC$ con $AB$, $BC$ y $CA$, respectivamente. La recta $t$ pasa por $B$ y es paralela a $KL$. Las rectas $MK$ y $ML$ intersecan a $t$ en los puntos $R$ y $S$. Demuestra que $\angle RIS$ es agudo.

4 Determina todos los pares $(x,y)$ de enteros positivos tales que $x^{2}y+x+y$ es divisible por $xy^{2}+y+7$.

1 ¿Existe un $x_1$ racional tal que todos los miembros de la sucesión $x_1, x_2, \ldots, x_{2024}$ definida por $x_{n+1}=x_n+\sqrt{x_n^2-1}$ para $n=1, 2, \ldots, 2023$ sean mayores que $1$ y racionales?

2 Sea $k\ge 2$ un entero y sean $a_1 ,a_2 ,\cdots ,a_n,b_1 ,b_2 ,\cdots ,b_n$ números reales no negativos. Demuestre que \[\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n-1}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)+\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} b_i\right)^2\ge\prod_{i=1}^{n}(a_i^{2}+b_i^{2})^{\frac{1}{n}}.\]

5 Sea $r\geq2$ un entero positivo fijo, y sea $F$ una familia infinita de conjuntos, cada uno de tamaño $r$, sin que dos de ellos sean disjuntos. Demuestra que existe un conjunto de tamaño $r-1$ que interseca a cada conjunto en $F$.