B4 Sea $n$ un entero positivo, y sea $V_n$ el conjunto de $(2n+1)$-adas de enteros $\mathbf{v}=(s_0,s_1,\cdots,s_{2n-1},s_{2n})$ tales que $s_0=s_{2n}=0$ y $|s_j-s_{j-1}|=1$ para $j=1,2,\cdots,2n$. Define \[ q(\mathbf{v})=1+\sum_{j=1}^{2n-1}3^{s_j}, \] y sea $M(n)$ el promedio de $\frac{1}{q(\mathbf{v})}$ sobre todos los $\mathbf{v}\in V_n$. Evalúa $M(2020)$.

B5 Para $j \in \{ 1,2,3,4\}$, sea $z_j$ un número complejo con $| z_j | = 1$ y $z_j \neq 1$. Demuestra que $$3 - z_1 - z_2 - z_3 - z_4 + z_1z_2z_3z_4 \neq 0.$$

Una secuencia infinita de dígitos $1$ y $2$ está determinada por las siguientes dos propiedades: i) La secuencia se construye escribiendo, en algún orden, bloques $12$ y bloques $112.$ ii) Si cada bloque $12$ se reemplaza por $1$ y cada bloque $112$ por $2$, se obtiene nuevamente la misma secuencia. ¿En qué posición está el centésimo dígito $1$? ¿Cuál es el milésimo dígito de la secuencia?

Para un entero positivo $N$, sea $f_N$ la función definida por \[ f_N (x)=\sum_{n=0}^N \frac{N+1/2-n}{(N+1)(2n+1)} \sin\left((2n+1)x \right). \] Determina la constante más pequeña $M$ tal que $f_N (x)\le M$ para todo $N$ y todo $x$ real.

A5 Sea $a_n$ el número de conjuntos $S$ de enteros positivos para los cuales \[ \sum_{k\in S}F_k=n,\] donde la sucesión de Fibonacci $(F_k)_{k\ge 1}$ satisface $F_{k+2}=F_{k+1}+F_k$ y comienza con $F_1=1$ , $F_2=1$ , $F_3=2$ , $F_4=3$ . Encuentra el mayor número $n$ tal que $a_n=2020$ .

A2 Sea $k$ un entero no negativo. Evalúa \[ \sum_{j=0}^k 2^{k-j} \binom{k+j}{j}. \]

A3 Sea $a_0=\pi /2$, y sea $a_n=\sin (a_{n-1})$ para $n\ge 1$. Determina si \[ \sum_{n=1}^{\infty}a_n^2 \] converge.

Considera una franja horizontal de $N+2$ casillas en la que la primera y la última casilla son negras y las $N$ casillas restantes son todas blancas. Elige una casilla blanca uniformemente al azar, elige uno de sus dos vecinos con igual probabilidad, y colorea ese vecino de negro si no es ya negro. Repite este proceso hasta que todas las casillas blancas restantes tengan únicamente vecinos negros. Sea $w(N)$ el número esperado de casillas blancas que quedan. Encuentra \[ \lim_{N\to\infty}\frac{w(N)}{N}.\]

A1 ¿Cuántos enteros positivos $N$ satisfacen las siguientes tres condiciones? (i) $N$ es divisible por $2020$. (ii) $N$ tiene a lo más $2020$ dígitos decimales. (iii) Los dígitos decimales de $N$ son una cadena de unos consecutivos seguida de una cadena de ceros consecutivos.

B1 Para un entero positivo $n$, define $d(n)$ como la suma de los dígitos de $n$ cuando se escribe en binario (por ejemplo, $d(13)=1+1+0+1=3$). Sea \[ S=\sum_{k=1}^{2020}(-1)^{d(k)}k^3. \] Determina $S$ módulo $2020$.