1 Sea $ABCD$ un rectángulo. Una recta $r$ se mueve paralela a $AB$ e interseca la diagonal $AC$, formando dos triángulos opuestos por el vértice, dentro del rectángulo. Demuestra que la suma de las áreas de estos triángulos es mínima cuando $r$ pasa por el punto medio del segmento $AD$.

4 En un triángulo escaleno \(ABC\), \(I\) es el incentro y \(CN\) es la bisectriz del ángulo \(C\). La recta \(CN\) corta nuevamente a la circunferencia circunscrita de \(ABC\) en \(M\). La recta \(l\) es paralela a \(AB\) y es tangente a la circunferencia inscrita de \(ABC\). El punto \(R\) sobre \(l\) es tal que \(CI \perp IR\). La circunferencia circunscrita de \(MNR\) corta nuevamente a la recta \(IR\) en \(S\). Demuestra que \(AS = BS\).

3 Determina todos los pares $(p, n)$ de un número primo $p$ y un entero positivo $n$ para los cuales $\frac{n^p + 1}{p^n + 1}$ es un entero.

1 Sea $ P $ un punto en el interior de un triángulo $ ABC $, y sean $ D, E, F $ los puntos de intersección de la recta $ AP $ con el lado $ BC $ del triángulo, de la recta $ BP $ con el lado $ CA $, y de la recta $ CP $ con el lado $ AB $, respectivamente. Demuestra que el área del triángulo $ ABC $ debe ser $ 6 $ si el área de cada uno de los triángulos $ PFA, PDB $ y $ PEC $ es $ 1 $.

4 Tres círculos $\omega_1,\omega_2,\omega_3$ son tangentes a la recta $l$ en los puntos $A,B,C$ ($B$ está entre $A,C$) y $\omega_2$ es tangente externamente a los otros dos. Sean $X,Y$ los puntos de intersección de $\omega_2$ con la otra tangente externa común de $\omega_1,\omega_3$. La recta perpendicular a $l$ que pasa por $B$ corta a $\omega_2$ nuevamente en $Z$. Demuestra que el círculo con diámetro $AC$ toca a $ZX,ZY$. Propuesto por Iman Maghsoudi - Siamak Ahmadpour

5 Sea $ n $ un entero mayor o igual que $ 2 $ . Demuestra que si los números reales $ a_1 , a_2 , \cdots , a_n $ satisfacen $ a_1 ^2 + a_2 ^2 + \cdots + a_n ^ 2 = n $ , entonces \[\sum_{1 \le i < j \le n} \frac{1}{n- a_i a_j} \le \frac{n}{2} \] debe cumplirse.

3 Dado un hexágono convexo $ABCDEF$, inscrito en el círculo. Demuestra que $AC*BD*DE*CE*EA*FB \geq 27 AB * BC * CD * DE * EF * FA$

2 En cada casilla de una cuadrícula cuadrada de $ 2012 \times 2012 $ se inserta un número real mayor o igual que $ 0 $ y menor o igual que $ 1 $. Considera dividir la cuadrícula en $2$ rectángulos no vacíos formados por casillas de la cuadrícula, trazando una línea paralela al lado horizontal o al lado vertical de la cuadrícula. Supón que para al menos uno de los rectángulos resultantes la suma de los números en las casillas dentro del rectángulo es menor o igual que $ 1 $, sin importar cómo se divida la cuadrícula en $2$ rectángulos de este tipo. Determina el valor máximo posible para la suma de todos los $ 2012 \times 2012 $ números insertados en las casillas.

4 Una tabla de $n \times n$ se llama buena si se pueden pintar sus celdas con tres colores de modo que, para cualesquiera dos filas distintas y dos columnas distintas, las cuatro celdas en sus intersecciones no sean todas del mismo color. a) Muestre que existe una tabla buena de $9 \times 9$ . b) Demuestre que si una tabla de $n \times n$ es buena, entonces $n<11$ .

1 Se da la función $f(x)=3x-2$ $a)$ Halle $g(x)$ si $f(2x-g(x))=-3(1+2m)x+34$ $b)$ Resuelva la ecuación: $g(x)=4(m-1)x-4(m+1)$ , $m \in \mathbb{R}$