N3 Dado un entero $k\geq 2$, determina todas las funciones $f$ de los enteros positivos en sí mismos tales que $f(x_1)!+f(x_2)!+\cdots+f(x_k)!$ es divisible por $x_1!+x_2!+\cdots+x_k!$ para todos los enteros positivos $x_1,x_2,\cdots,x_k$. $Albania$

N2 Hay $N$ niños en una fiesta y se sientan en círculo para jugar a Pasa y Abre. Como el anfitrión no tiene otra forma de entretenimiento, el paquete tiene infinitas capas. En el turno $i$, comenzando con $i=1$, ocurren las siguientes dos cosas en orden: $(1)$ El paquete se pasa $i^2$ posiciones en el sentido de las agujas del reloj; y $(2)$ El niño que tiene el paquete en ese momento abre una capa y reclama el premio que hay dentro. ¿Para qué valores de $N$ recibirá un premio cada niño? $Patrick \ Winter \, United \ Kingdom$

N1 Determina todos los enteros positivos $n$ tales que $\frac{a^2+n^2}{b^2-n^2}$ es un entero positivo para algunos $a,b\in \mathbb{N}$. $Turquía$

G5 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB = AC$ y $\angle A = 45^o$. Su circunferencia circunscrita $(c)$ tiene centro $O$, $M$ es el punto medio de $BC$ y $D$ es el pie de la perpendicular desde $C$ a $AB$. Con centro $C$ y radio $CD$ trazamos una circunferencia que interseca internamente a $AC$ en el punto $F$ y a la circunferencia $(c)$ en los puntos $Z$ y $E$, de modo que $Z$ está en el arco pequeño $BC$ y $E$ en el arco pequeño $AC$. Demuestra que las rectas $ZE$, $CO$, $FM$ son concurrentes. Brazitikos Silouanos, Grecia

3 En un tablero de $8 \times 8$, se han colocado $10$ fichas, cada una ocupando una casilla. En cada casilla sin ficha se escribe un número entre $0$ y $8$, que es igual al número de fichas colocadas en sus casillas vecinas. Las casillas vecinas son aquellas que comparten un lado o un vértice. Da una distribución de las fichas que haga que la suma de los números escritos en el tablero sea la mayor posible.

A1 Denota $\mathbb{Z}_{>0}=\{1,2,3,...\}$ el conjunto de todos los enteros positivos. Determina todas las funciones $f:\mathbb{Z}_{>0}\rightarrow \mathbb{Z}_{>0}$ tales que, para cada entero positivo $n$ , $\hspace{1cm}i) \sum_{k=1}^{n}f(k)$ es un cuadrado perfecto, y $\vspace{0.1cm}$ $\hspace{1cm}ii) f(n)$ divide a $n^3$ . Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

G1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB=AC$, sea $D$ el punto medio del lado $AC$, y sea $\gamma$ la circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$. La tangente a $\gamma$ en $A$ corta a la recta $BC$ en $E$. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABE$. Demuestra que el punto medio del segmento $AO$ está sobre $\gamma$. Propuesto por Sam Bealing, Reino Unido.

G3 Sea $ABC$ un triángulo. Sobre los lados $BC$, $CA$, $AB$ del triángulo, construye hacia afuera tres cuadrados con centros $O_a$, $O_b$, $O_c$ respectivamente. Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo $O_aO_bO_c$. Dado que $A$ está sobre $\omega$, demuestra que el centro de $\omega$ está sobre el perímetro del triángulo $ABC$. Sam Bealing, Reino Unido

4 Sea $n$ un entero positivo. Dos jugadores, Alicia y Bob, juegan el siguiente juego: - Alicia elige $n$ números reales; no necesariamente distintos. - Alicia escribe todas las sumas por pares en una hoja de papel y se la da a Bob. (Hay $\frac{n(n-1)}{2}$ de tales sumas; no necesariamente distintas.) - Bob gana si encuentra correctamente los $n$ números iniciales elegidos por Alicia con solo una suposición. ¿Puede Bob estar seguro de ganar en los siguientes casos? a. $n=5$ b. $n=6$ c. $n=8$ Justifica tu(s) respuesta(s). [Por ejemplo, cuando $n=4$, Alicia puede elegir los números 1, 5, 7, 9, que tienen las mismas sumas por pares que los números 2, 4, 6, 10, y por lo tanto Bob no puede estar seguro de ganar.]

5 En un tablero de ajedrez infinito se juega un solitario de la siguiente manera: al inicio tenemos $n^2$ piezas ocupando un cuadrado de lado $n.$ El único movimiento permitido es saltar sobre una casilla ocupada hacia una desocupada, y la pieza sobre la que se saltó se retira. ¿Para qué $n$ puede terminar el juego con una sola pieza restante en el tablero?