3 Si $k$ y $n$ son enteros positivos , y $k \leq n$ , sea $M(n,k)$ el mínimo común múltiplo de los números $n , n-1 , \ldots , n-k+1$ . Sea $f(n)$ el mayor entero positivo $ k \leq n$ tal que $M(n,1)<M(n,2)<\ldots <M(n,k)$ . Demuestre que : (a) $f(n)<3\sqrt{n}$ para todos los enteros positivos $n$ . (b) Si $N$ es un entero positivo , entonces $f(n) > N$ para todos los enteros positivos $n$ salvo un número finito de ellos .

9.3 Halle todas las ternas $(a,b,c)$ de números naturales distintos por pares para las cuales los números $ab + 3, bc + 3, ca + 3$ pueden ordenarse en una sola fila de izquierda a derecha de modo que el primer número sea divisible por el segundo, y el segundo sea divisible por el tercero.

3 Sea $n$ un entero positivo . Si $\sigma$ es una permutación de los primeros $n$ enteros positivos , sea $S(\sigma)$ el conjunto de todas las sumas distintas de la forma $\sum_{i=k}^{l} \sigma(i)$ donde $1 \leq k \leq l \leq n$ . (a) Exhiba una permutación $\sigma$ de los primeros $n$ enteros positivos tal que $|S(\sigma)|\geq \left \lfloor{\frac{(n+1)^2}{4}}\right \rfloor $ . (b) Demuestre que $|S(\sigma)|>\frac{n\sqrt{n}}{4\sqrt{2}}$ para todas las permutaciones $\sigma$ de los primeros $n$ enteros positivos .

1 Sea $ABC$ un triángulo. Sean $P_1$ y $P_2$ puntos sobre el lado $AB$ tales que $P_2$ se encuentra en el segmento $BP_1$ y $AP_1 = BP_2$ ; análogamente, sean $Q_1$ y $Q_2$ puntos sobre el lado $BC$ tales que $Q_2$ se encuentra en el segmento $BQ_1$ y $BQ_1 = CQ_2$ . Los segmentos $P_1Q_2$ y $P_2Q_1$ se cortan en $R$ , y las circunferencias $P_1P_2R$ y $Q_1Q_2R$ se cortan nuevamente en $S$ , situado en el interior del triángulo $P_1Q_1R$ . Finalmente, sea $M$ el punto medio del lado $AC$ . Demuestre que los ángulos $P_1RS$ y $Q_1RM$ son iguales.

2 Dado un entero $k \geq 2$ , determine el mayor número de divisores que el coeficiente binomial $\binom{n}{k}$ puede tener en el rango $n-k+1, \ldots, n$ , cuando $n$ recorre los enteros mayores o iguales que $k$ .

1 Sean $ABC$ y $ABD$ triángulos coplanarios con perímetros iguales. Las rectas de apoyo de las bisectrices interiores de los ángulos $CAD$ y $CBD$ se cortan en $P$ . Demuestre que los ángulos $APC$ y $BPD$ son congruentes.

4: Inscriba un triángulo equilátero de lado mínimo en un triángulo acutángulo dado $ABC$ (un vértice en cada lado).

2 Sean $(a_n)_{n \geq 0}$ y $(b_n)_{n \geq 0}$ sucesiones de números reales tales que $ a_0>\frac{1}{2}$ , $a_{n+1} \geq a_n$ y $b_{n+1}=a_n(b_n+b_{n+2})$ para todos los enteros no negativos $n$ . Demuestre que la sucesión $(b_n)_{n \geq 0}$ es acotada .

3: Demuestre que la sucesión $a_n = 3^n- 2^n$ no contiene tres números en progresión geométrica.

4: Considere un tetraedro $ A_1A_2A_3A_4$ . Se dice que un punto $N$ es un punto de Servais si sus proyecciones sobre las seis aristas del tetraedro están en un plano $\alpha(N)$ (llamado plano de Servais). Demuestre que si los seis puntos $Nij$ simétricos de un punto $M$ con respecto a los puntos medios $Bij$ de las aristas $A_iA_j$ son puntos de Servais, entonces $M$ está contenido en todos los planos de Servais $\alpha(Nij )$