Sean \( x, y \) números reales positivos y \( n \) un número natural tales que \[ \left\lfloor\frac{x^{n+1}}{y^n} \right\rfloor = \left\lfloor\frac{x}{y} \right\rfloor + \left\lfloor\frac{y^{n+1}}{x^n} \right\rfloor. \] Demuestra que \[ \frac{-1}{2n+1} < x-y < \frac{2}{2n-1}. \] ( \( \lfloor t \rfloor \) es la parte entera de \( t \), es decir, el mayor entero que no excede a \( t \).)

. Resuelva la ecuación $\frac{x}{3}+\frac{5}{x}=45x+x^{2}$ . P2. Halle todos los enteros $n$ para los cuales el número $|2n^{2}+9n+4|$ es primo. P3. En el plano, tres circunferencias de radio $1$ tienen un punto común $O$ . Sean $A, B, C$ los otros puntos de intersección de estas circunferencias tomadas por pares. Demuestre que el circunradio del triángulo $ABC$ es igual a $1$ . P4. Hay seis carteras distintas. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir entre ellas doce monedas idénticas de modo que a lo sumo una cartera quede vacía? P5. Una función $f$ satisface la relación $f(\cos x)=\cos(17x)$ para todo $x$ real . Demuestre que también satisface $f(\sin x)=\sin(17x)$ para todo $x$ real . P6. Describa (bosqueje) el conjunto de todos los puntos $(x,y)$ del plano coordenado tales que para todo $t$ con $-1 \leqslant t\leqslant1$ se cumpla la desigualdad \[t^{2}+yt+x\geqslant0\] .

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $BHC$ interseca a $AC$ una segunda vez en el punto $P$ y a $AB$ una segunda vez en el punto $Q$ . Demuestre que $H$ es el circuncentro del triángulo $APQ$ . (Karl Czakler)

3 Sobre una mesa tenemos diez mil fósforos, dos de los cuales están dentro de un tazón. Anna y Bernd juegan el siguiente juego: se turnan alternadamente y Anna comienza. Un turno consiste en contar los fósforos del tazón, elegir un divisor propio $d$ de este número y añadir $d$ fósforos al tazón. El juego termina cuando hay más de $2024$ fósforos en el tazón. La persona que jugó el último turno gana. Demuestre que Anna puede ganar independientemente de cómo juegue Bernd. (Richard Henner)

4 Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que $a(n) = n^5 +5^n$ es divisible por $11$ si y solo si $b(n) = n^5 · 5^n +1$ es divisible por $11$ . (Walther Janous)

Un punto $P$ se encuentra dentro de $\usepackage{gensymb} \angle ABC(<90 \degree)$ . Demuestre que existe un punto $Q$ dentro de $\angle ABC$ que satisface la siguiente condición: Para cualesquiera dos puntos $X$ y $Y$ sobre los rayos $\overrightarrow{BA}$ y $\overrightarrow{BC}$ , respectivamente, que satisfacen $\angle XPY = \angle ABC$ , se cumple que $\usepackage{gensymb} \angle XQY = 180 \degree - 2 \angle ABC.$ Acorn-SJ

Suponga que $X$ y $Y$ son los puntos comunes de dos círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ . El tercer círculo $\omega$ es tangente internamente a $\omega_1$ y $\omega_2$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. El segmento $XY$ interseca a $\omega$ en los puntos $M$ y $N$ . Los rayos $PM$ y $PN$ intersecan a $\omega_1$ en los puntos $A$ y $D$ ; los rayos $QM$ y $QN$ intersecan a $\omega_2$ en los puntos $B$ y $C$ , respectivamente. Demuestre que $AB = CD$ .

30 Demuestre que un poliedro convexo cuyas caras son todas triángulos equiláteros tiene a lo sumo $30$ aristas. Amir

Sea $d(n)$ el número de divisores de $n$ . Demuestre que existen enteros positivos $m$ y $n$ tales que hay exactamente 2024 ternas de enteros $(i, j, k)$ que satisfacen la siguiente condición: $0<i<j<k \le m$ y $d(n+i)d(n+j)d(n+k)$ es un múltiplo de $ijk$ . Acorn-SJ

Considere cualquier sucesión de números reales $a_0$ , $a_1$ , $\cdots$ . Si, para todos los pares de enteros no negativos $(m, s)$ , existe algún entero $n \in [m+1, m+2024(s+1)]$ que satisface $a_m+a_{m+1}+\cdots+a_{m+s}=a_n+a_{n+1}+\cdots+a_{n+s}$ , se dice que esta sucesión tiene sumas repetidas . ¿Una sucesión con sumas repetidas es siempre eventualmente periódica? Acorn-SJ