3 Sea $h \ge 3$ un entero y sea $X$ el conjunto de todos los enteros positivos mayores o iguales que $2h$ . Sea $S$ un subconjunto no vacío de $X$ tal que se cumplen las dos condiciones siguientes: si $a + b \in S$ con $a \ge h, b \ge h$ , entonces $ab \in S$ ; si $ab \in S$ con $a \ge h, b \ge h$ , entonces $a + b \in S$ . Demuestre que $S = X$ .

1 Un entero positivo $a$ se llama número doble si tiene un número par de dígitos (en base 10) y su representación en base 10 tiene la forma $a = a_1a_2 \cdots a_k a_1 a_2 \cdots a_k$ con $0 \le a_i \le 9$ para $1 \le i \le k$ , y $a_1 \ne 0$ . Por ejemplo, $283283$ es un número doble. Determine si existen o no infinitos números dobles $a$ tales que $a + 1$ es un cuadrado y $a + 1$ no es una potencia de $10$ .

2 Sea $n \ge 2$ un entero y sea $f_1(x), f_2(x), \ldots, f_{n}(x)$ una sucesión de polinomios con coeficientes enteros. Se permite hacer movimientos $M_1, M_2, \ldots $ de la siguiente manera: en el $k$ - ésimo movimiento $M_k$ se elige un elemento $f(x)$ de la sucesión cuyo grado de $f$ es al menos $2$ y se lo reemplaza por $(f(x) - f(k))/(x-k)$ . El proceso se detiene cuando todos los elementos de la sucesión son de grado $1$ . Si $f_1(x) = f_2(x) = \cdots = f_n(x) = x^n + 1$ , determine si es posible o no hacer movimientos adecuados de modo que el proceso se detenga con una sucesión de $n$ polinomios idénticos de grado 1.

3 En un triángulo $ABC$ , con $AB \ne BC$ , sea $E$ un punto de la recta $AC$ tal que $BE$ es perpendicular a $AC$ . Una circunferencia que pasa por $A$ y es tangente a la recta $BE$ en un punto $P \ne B$ interseca la recta $AB$ por segunda vez en $X$ . Sea $Q$ un punto de la recta $PB$ distinto de $P$ tal que $BQ = BP$ . Sea $Y$ el punto de intersección de las rectas $CP$ y $AQ$ . Demuestre que los puntos $C, X, Y, A$ son concíclicos si y solo si $CX$ es perpendicular a $AB$ .

1 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$ . Sea $D$ un punto del segmento $BC$ tal que $BD=2DC$ . Sea $P$ un punto del segmento $AD$ tal que $\angle BAC=\angle BPD$ . Demuestre que $\angle BAC=2\angle DPC$ . math-o-fun

2 Sean $a\ge b$ y $c\ge d$ números reales. Demuestre que la ecuación \[(x+a)(x+d)+(x+b)(x+c)=0\] tiene raíces reales.

1 Sea $ABCD$ un trapecio con $AB\parallel CD$ . Sea $P$ un punto de $AC$ tal que $C$ está entre $A$ y $P$ ; y sean $X, Y$ los puntos medios de $AB, CD$ respectivamente. Sea $PX$ el punto de intersección de $BC$ con $N$ , y sea $PY$ el punto de intersección de $AD$ con $M$ . Demuestre que $MN\parallel AB$ .

2 Sean $0<x<y<z<p$ enteros donde $p$ es un primo. Demuestre que las siguientes afirmaciones son equivalentes: $(a) x^3\equiv y^3\pmod p\text{ and }x^3\equiv z^3\pmod p$ $(b) y^2\equiv zx\pmod p\text{ and }z^2\equiv xy\pmod p$

3 Sea $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ una función tal que $f(x+y+xy)=f(x)+f(y)+f(xy)$ para todo $x, y\in\mathbb{R}$ . Demuestre que $f$ satisface $f(x+y)=f(x)+f(y)$ para todo $x, y\in\mathbb{R}$ .

1 El circuncentro del cuadrilátero cíclico $ABCD$ es $O$ . El segundo punto de intersección de las circunferencias $ABO$ y $CDO$ , distinto de $O$ , es $P$ , que se encuentra en el interior del triángulo $DAO$ . Elija un punto $Q$ en la prolongación de $OP$ más allá de $P$ , y un punto $R$ en la prolongación de $OP$ más allá de $O$ . Demuestre que $\angle QAP=\angle OBR$ si y solo si $\angle PDQ=\angle RCO$ .