3 El círculo \(S\) tiene centro \(O\), y \(BC\) es un diámetro de \(S\). Sea \(A\) un punto de \(S\) tal que \(\angle AOB<120{{}^\circ}\). Sea \(D\) el punto medio del arco \(AB\) que no contiene a \(C\). La recta que pasa por \(O\) paralela a \(DA\) corta a la recta \(AC\) en \(I\). La mediatriz de \(OA\) corta a \(S\) en \(E\) y en \(F\). Demuestra que \(I\) es el incentro del triángulo \(CEF\).

4 Círculos $S_1$ y $S_2$ se intersectan en los puntos $P$ y $Q$. Puntos distintos $A_1$ y $B_1$ (que no sean $P$ ni $Q$) se seleccionan en $S_1$. Las rectas $A_1P$ y $B_1P$ se encuentran con $S_2$ nuevamente en $A_2$ y $B_2$ respectivamente, y las rectas $A_1B_1$ y $A_2B_2$ se encuentran en $C$. Demuestra que, al variar $A_1$ y $B_1$, los circuncentros de los triángulos $A_1A_2C$ todos se encuentran sobre un círculo fijo.

5 Para cualquier conjunto $S$ de cinco puntos en el plano, sin tres colineales, sean $M(S)$ y $m(S)$ las áreas mayor y menor, respectivamente, de los triángulos determinados por tres puntos de $S$. ¿Cuál es el valor mínimo posible de $M(S)/m(S)$?

3 Sean $ n$ y $ k$ enteros positivos y sea $ S$ un conjunto de $ n$ puntos en el plano tal que i.) no hay tres puntos de $ S$ colineales, y ii.) para cada punto $ P$ de $ S$ hay al menos $ k$ puntos de $ S$ equidistantes de $ P.$ Demuestra que: \[ k < \frac {1}{2} + \sqrt {2 \cdot n} \]

1 Demuestra que el conjunto $ \{1,2, \ldots, 1989\}$ se puede expresar como la unión disjunta de subconjuntos $ A_i, \{i = 1,2, \ldots, 117\}$ tales que i.) cada $ A_i$ contiene 17 elementos ii.) la suma de todos los elementos en cada $ A_i$ es la misma.

2 Sea $ABC$ un triángulo para el cual existe un punto interior $F$ tal que $\angle AFB=\angle BFC=\angle CFA$. Sean las rectas $BF$ y $CF$ que cortan a los lados $AC$ y $AB$ en $D$ y $E$, respectivamente. Demuestra que \[ AB+AC\geq4DE. \]

6 Sea $n\geq3$ un entero positivo. Sean $C_1,C_2,C_3,\ldots,C_n$ circunferencias unitarias en el plano, con centros $O_1,O_2,O_3,\ldots,O_n$ respectivamente. Si ninguna recta corta a más de dos de las circunferencias, demuestra que \[ \sum\limits^{}_{1\leq i<j\leq n}{1\over O_iO_j}\leq{(n-1)\pi\over 4}. \]

7 El incírculo \( \Omega \) del triángulo acutángulo \( ABC \) es tangente a su lado \( BC \) en un punto \( K \). Sea \( AD \) una altura del triángulo \( ABC \), y sea \( M \) el punto medio del segmento \( AD \). Si \( N \) es el punto común del círculo \( \Omega \) y la recta \( KM \) (distinto de \( K \)), entonces demuestra que el incírculo \( \Omega \) y el circuncírculo del triángulo \( BCN \) son tangentes entre sí en el punto \( N \).

8 Sean dos círculos $S_{1}$ y $S_{2}$ que se cortan en los puntos $A$ y $B$. Una recta que pasa por $A$ corta a $S_{1}$ nuevamente en $C$ y a $S_{2}$ nuevamente en $D$. Sean $M$, $N$, $K$ tres puntos sobre los segmentos $CD$, $BC$, $BD$ respectivamente, con $MN$ paralelo a $BD$ y $MK$ paralelo a $BC$. Sean $E$ y $F$ puntos sobre los arcos $BC$ de $S_{1}$ y $BD$ de $S_{2}$ respectivamente, que no contienen a $A$. Dado que $EN$ es perpendicular a $BC$ y $FK$ es perpendicular a $BD$, demuestra que $\angle EMF=90^{\circ}$.

2 Sea $n\geq2$ un entero positivo, con divisores $1=d_1<d_2<\,\ldots<d_k=n$. Demuestra que $d_1d_2+d_2d_3+\,\ldots\,+d_{k-1}d_k$ es siempre menor que $n^2$, y determina cuándo es un divisor de $n^2$.