11.3 Cuatro puntos $A$, $B$, $C$, $D$ están sobre la hipérbola $y=\frac{1}{x}$. En el triángulo $BCD$, el punto $A_1$ es el circuncentro del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de $BCD$. En los triángulos $ACD$, $ABD$ y $ABC$, los puntos $B_1$, $C_1$ y $D_1$ se eligen de manera análoga. Resultó que los puntos $A_1$, $B_1$, $C_1$ y $D_1$ son distintos dos a dos y concíclicos. Demuestre que el centro de esa circunferencia coincide con el punto $(0,0)$.

2 Sea $O$ el circuncentro y $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$. Demuestra que el área de uno de los triángulos $AOH$, $BOH$ y $COH$ es igual a la suma de las áreas de los otros dos.

5 Un arreglo regular de $ (5 \times 5) $ luces está defectuoso, de modo que al alternar el interruptor de una luz se cambia el estado de cada luz adyacente en la misma fila y en la misma columna, así como la luz misma, de encendido a apagado, o de apagado a encendido. Inicialmente todas las luces están apagadas. Después de un cierto número de alternancias, exactamente una luz queda encendida. Encuentra todas las posiciones posibles de esta luz. N.T.TUAN

2 Sea $ r$ un número real tal que la sucesión $ (a_{n})_{n\geq 1}$ de números reales positivos satisface la ecuación $ a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{m + 1} \leq r a_{m}$ para cada entero positivo $ m$ . Demuestra que $ r \geq 4$ .

2015 g1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico, con $O$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$ . Demuestre que $\angle ABC = \angle AOB$ si y solo si $DA = AB$ .

Sea el círculo \( (I; r) \) inscrito en el triángulo \( ABC \). Sea \( D \) el punto de contacto de este círculo con \( BC \). Sean \( E \) y \( F \) los puntos medios de \( BC \) y \( AD \), respectivamente. Demuestra que los tres puntos \( I \), \( E \), \( F \) son colineales.

1 Determina todos los conjuntos finitos no vacíos \( S \) de enteros positivos que satisfacen \[ {i+j\over (i,j)}\qquad\mbox{es un elemento de S para todos i,j en S}, \] donde \((i,j)\) es el máximo común divisor de \( i \) y \( j \).

1 ¿Cuántos números de siete dígitos son múltiplos de $388$ y terminan en $388$?

Determine todos los pares ordenados $(a,p)$ de enteros positivos, con $p$ primo, tales que $p^a+a^4$ es un cuadrado perfecto. Propuesto por Tahjib Hossain Khan, Bangladesh

Tienes un pentágono de papel, $ABCDE$, tal que $AB = BC = 3$ cm, $CD = DE = 5$ cm, $EA = 4$ cm, $\angle ABC = 100^o$, $\angle CDE = 80^o$. Tienes que dividir el pentágono en cuatro triángulos, mediante tres cortes rectos, de modo que con los cuatro triángulos armes un rectángulo, sin huecos ni superposiciones. (Los triángulos pueden rotarse y/o darse vuelta.)