1 El conjunto $\{1,2,3,...,63\}$ se dividió en tres conjuntos disjuntos no vacíos $A,B$ . Sean $a,b,c$ los productos de todos los números de cada conjunto $A,B,C$ respectivamente y finalmente hemos determinado el máximo común divisor de estos tres productos. ¿Cuál fue el mayor resultado que pudimos obtener?

2 Sea $ABCD$ un paralelogramo con $\angle BAD<90^o$ y $AB> BC$ . La bisectriz del ángulo $BAD$ interseca a la recta $CD$ en el punto $P$ y a la recta $BC$ en el punto $Q$ . Demuestre que el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo $CPQ$ es equidistante de los puntos $B$ y $D$ .

3 Halle todos los enteros $n$ para los cuales $|n^3 - 4n^2 + 3n - 35|$ y $|n^2 + 4n + 8|$ son números primos.

4 El punto $M$ es el punto medio del lado $AB$ de un triángulo acutángulo $ABC$ . La circunferencia con centro $M$ que pasa por el punto $ C$ interseca a las rectas $AC ,BC$ por segunda vez en los puntos $P,Q$ respectivamente. El punto $R$ se encuentra sobre el segmento $AB$ tal que los triángulos $APR$ y $BQR$ tienen áreas iguales. Demuestre que las rectas $PQ$ y $CR$ son perpendiculares.

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\omega$ , y sean $O$ , $H$ el circuncentro y el ortocentro del triángulo respectivamente . Sea además $A^{'}$ el punto donde la bisectriz del ángulo $BAC$ corta a $\omega$ . Si $A^{'}H=AH$ , halle la medida del ángulo $BAC$ .

5 Sean las circunferencias $k_1$ y $k_2$ que se intersecan en dos puntos $A$ y $B$ , y sea $t$ una tangente común de $k_1$ y $k_2$ que toca a $k_1$ y $k_2$ en $M$ y $N$ respectivamente. Si $t\perp AM$ y $MN=2AM$ , calcule el ángulo $NMB$ .

3 Determine todos los enteros positivos $n$ tales que es posible llenar la tabla de $n \times n$ con los números $1, 2$ y $-3$ de modo que la suma de los números en cada fila y cada columna sea $0$ .

5 Al principio, en la pizarra está el número $1$ . Si el número $a$ está escrito en la pizarra, entonces también podemos escribir un número natural $b$ tal que $a + b + 1$ sea un divisor de $a^2 + b^2 + 1$ . ¿Puede aparecer cualquier entero positivo en la pizarra después de cierto tiempo? Justifique su respuesta.

6 Determine las fracciones mayor y menor $F = \frac{y-x}{x+4y}$ si los números reales $x$ e $y$ satisfacen la ecuación $x^2y^2 + xy + 1 = 3y^2$ .

Sea $n>1$ un entero. Dado un grafo simple $G$ con $n$ vértices $v_1, v_2, \dots, v_n$ , sea $k(G)$ el valor mínimo de $k$ para el cual existen $n$ cajas rectangulares $k$ - dimensionales $R_1, R_2, \dots, R_n$ en un sistema coordenado $k$ - dimensional con aristas paralelas a los ejes, de modo que para cada $1\leq i<j\leq n$ , $R_i$ y $R_j$ se intersecan si y solo si hay una arista entre $v_i$ y $v_j$ en $G$ . Defina $M$ como el valor máximo de $k(G)$ sobre todos los grafos con $n$ vértices. Calcule $M$ en función de $n$ .