1 Para todos los primos $p \geq 3,$ defina $F(p) = \sum^{\frac{p-1}{2}}_{k=1}k^{120}$ y $f(p) = \frac{1}{2} - \left\{ \frac{F(p)}{p} \right\}$ , donde $\{x\} = x - [x],$ halle el valor de $f(p).$

2 Sean $n \geq 2, n \in \mathbb{N}$, $a,b,c,d \in \mathbb{N}$ tales que $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} < 1$ y $a + c \leq n,$; halle el valor máximo de $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ para el valor fijo $n.$

3 Sea $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ al lado $BC$ , $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$ , y $Q$ el punto de $\Gamma$ diametralmente opuesto a $A$ . Sea $E$ el punto medio de $DQ$ . Demuestre que las rectas perpendiculares a $EM$ y $EN$ que pasan por $M$ y $N$ , respectivamente, se cortan sobre $AD$ .

N3 La sucesión $(\chi_n) _{n=1}^{\infty}$ se define de la siguiente manera \begin{align*} \chi_{n+1}=\chi_n + \chi _{\lceil \frac{n}{2} \rceil} ~, \chi_1 =1 \end{align*} Demuestra que ninguno de los términos de esta sucesión es divisible por $4$

3 Sean $a$, $b$, $c$ números reales positivos. Demuestra que \[ \biggl(1+\frac{a}{b}\biggr) \biggl(1+\frac{b}{c}\biggr) \biggl(1+\frac{c}{a}\biggr) \ge 2 \biggl(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\biggr). \]

2 Demuestra que para cualesquiera enteros positivos $a$ y $b$, $(36a+b)(a+36b)$ no puede ser una potencia de $2$.

3 Para todo primo $p$, demuestre que existe un entero $x_0$ tal que $p | (x^2_0 - x_0 + 3)$ $\Leftrightarrow$ existe un entero $y_0$ tal que $p | (y^2_0 - y_0 + 25).$

1 Sea $F$ el conjunto de todas las $n$-tuplas $(A_1, \ldots, A_n)$ tales que cada $A_{i}$ es un subconjunto de $\{1, 2, \ldots, 1998\}$. Sea $|A|$ el número de elementos del conjunto $A$. Encuentra \[ \sum_{(A_1, \ldots, A_n)\in F} |A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n| \]

5 Sean \(a\), \(b\), \(c\) las longitudes de los lados de un triángulo. Demuestra que \[ \sqrt{a+b-c} + \sqrt{b+c-a} + \sqrt{c+a-b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \] y determina cuándo ocurre la igualdad.

4 El Consejo Nacional de Matrimonios desea invitar a $n$ parejas para formar 17 grupos de discusión bajo las siguientes condiciones: (1) Todos los miembros de un grupo deben ser del mismo sexo; es decir, son todos hombres o todas mujeres. (2) La diferencia en el tamaño de cualesquiera dos grupos es 0 o 1. (3) Todos los grupos tienen al menos 1 miembro. (4) Cada persona debe pertenecer a uno y solo un grupo. Encuentra todos los valores de $n$, $n \leq 1996$, para los cuales esto es posible. Justifica tu respuesta.