7 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\Gamma$ y ortocentro $H$. Sea $K$ un punto de $\Gamma$ en el otro lado de $BC$ respecto de $A$. Sea $L$ el reflejo de $K$ en la recta $AB$, y sea $M$ el reflejo de $K$ en la recta $BC$. Sea $E$ el segundo punto de intersección de $\Gamma$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $BLM$. Muestra que las rectas $KH$, $EM$ y $BC$ son concurrentes. (El ortocentro de un triángulo es el punto que está en sus tres alturas.) Luxemburgo (Pierre Haas)

8 Una palabra es una secuencia finita de letras de algún alfabeto. Una palabra es repetitiva si es una concatenación de al menos dos subpalabras idénticas (por ejemplo, $ababab$ y $abcabc$ son repetitivas, pero $ababa$ y $aabb$ no lo son). Demuestra que si una palabra tiene la propiedad de que intercambiar cualesquiera dos letras adyacentes la hace repetitiva, entonces todas sus letras son idénticas. (Nota que se pueden intercambiar dos letras adyacentes idénticas, dejando la palabra sin cambios.) Rumania (Dan Schwarz)

1 Encuentra todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos tales que $a^3$ es múltiplo de $b^2$ y $b-1$ es múltiplo de $a-1$.

2 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle B=90^{\circ}$. El punto $D$ está sobre la recta $CB$ tal que $B$ está entre $D$ y $C$. Sea $E$ el punto medio de $AD$ y sea $F$ el segundo punto de intersección de la circunferencia circunscrita de $\triangle ACD$ y la circunferencia circunscrita de $\triangle BDE$. Demuestra que, al variar $D$, la recta $EF$ pasa por un punto fijo.

3 Encuentra todos los enteros positivos $k<202$ para los cuales existe un entero positivo $n$ tal que $$\bigg {\{}\frac{n}{202}\bigg {\}}+\bigg {\{}\frac{2n}{202}\bigg {\}}+\cdots +\bigg {\{}\frac{kn}{202}\bigg {\}}=\frac{k}{2}$$

4 Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Cathy está jugando el siguiente juego. Hay $n$ canicas y $k$ cajas, con las canicas etiquetadas del $1$ al $n$. Inicialmente, todas las canicas están dentro de una sola caja. En cada turno, Cathy elige una caja y luego mueve la canica con la etiqueta más pequeña, digamos $i$, ya sea a cualquier caja vacía o a la caja que contiene la canica $i+1$. Cathy gana si en algún momento hay una caja que contiene solo la canica $n$. Determina todos los pares de enteros $(n,k)$ tales que Cathy puede ganar este juego.

3 Dos círculos $(O_1,R_1)$, $(O_2,R_2)$ son exteriores entre sí. Halle: a) la longitud mínima del segmento que une puntos de los círculos b) la longitud máxima del segmento que une puntos de los círculos.

5 Sean $a,b,c,d$ números reales tales que $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Determina el valor mínimo de $(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)$ y determina todos los valores de $(a,b,c,d)$ para los cuales se alcanza el valor mínimo.

1 Una recta que pasa por el incentro $I$ del triángulo $ABC$ corta a su incircunferencia en $D$ y $E$ y a su circunferencia circunscrita en $F$ y $G$, de modo que el punto $D$ queda entre $I$ y $F$. Demuestra que: $DF \cdot EG \geq r^{2}$.

6 Algunas casillas de una tabla $n \times n$ ($n>2$) son negras, el resto son blancas. En cada casilla blanca escribimos el número de casillas negras que tienen al menos un vértice en común con ella. Encuentra la suma máxima posible de todos estos números.