2 Dados $ n$ puntos arbitrarios en el plano $ P_{1},P_{2},\ldots,P_{n},$ de los cuales no hay tres colineales. Cada $ P_{i}$ ( $1\le i\le n$ ) se colorea arbitrariamente de rojo o azul. Sea $ S$ el conjunto de triángulos que tienen a $ \{P_{1},P_{2},\ldots,P_{n}\}$ como vértices, y que tienen la siguiente propiedad: para cualesquiera dos segmentos $ P_{i}P_{j}$ y $ P_{u}P_{v},$ el número de triángulos que tienen a $ P_{i}P_{j}$ como lado y el número de triángulos que tienen a $ P_{u}P_{v}$ como lado son iguales en $ S.$ Halle el menor $ n$ tal que en $ S$ existan dos triángulos cuyos vértices de cada triángulo tengan el mismo color. Fang-jh

6 Hay cinco laboratorios de investigación en Marte. ¿Siempre es posible dividir Marte en cinco regiones conexas y congruentes de modo que cada región contenga exactamente un laboratorio de investigación?

El rectángulo $HOMF$ tiene $HO=11$ y $OM=5$. El triángulo $\vartriangle ABC$ tiene ortocentro $H$ y circuncentro $O$. El punto medio del lado $BC$ es $M$ y el punto donde la altura desde $A$ corta a $BC$ es $F$. Encuentra la longitud de $BC$.

C4 Los números de Fibonacci $F_0, F_1, F_2, . . .$ se definen inductivamente por $F_0=0, F_1=1$ y $F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$ para $n \ge 1$ . Dado un entero $n \ge 2$ , determine el menor tamaño de un conjunto $S$ de enteros tal que para cada $k=2, 3, . . . , n$ existan $x, y \in S$ tales que $x-y=F_k$ . Propuesto por Croatia

8 Dado un entero positivo $n \ge 3$ . Halle el menor número real $k$ tal que, para cualesquiera números reales positivos $a_1, a_2,..,a_n$ , $$\sum_{i=1}^{n-1}\frac{a_i}{ s-a_i}+\frac{ka_n}{s-a_n} \ge \frac{n-1}{n-2}$$ donde $s=a_1+a_2+..+a_n$ .

2 Un rectángulo de $9\times 7$ se embaldosa con fichas de dos tipos: fichas en forma de L compuestas por tres cuadrados unitarios (pueden rotarse repetidamente en $90^\circ$ ) y fichas cuadradas compuestas por cuatro cuadrados unitarios. Sea $n\ge 0$ el número de fichas de $2 \times 2 $ que pueden usarse en tal embaldosado. Halle todos los valores de $n$ .

4 Halle el mayor número $M$ con la siguiente propiedad: en cada reordenamiento de los $2006$ números enteros $1,2,...2006$ hay $1010$ números ubicados consecutivamente en ese reordenamiento cuya suma es mayor o igual que $M$ .

2 El triángulo $ \triangle SFA$ tiene un ángulo recto en $ F$ . Los puntos $ P$ y $ Q$ están sobre la recta $ SF$ de modo que el punto $ P$ se encuentra entre $ S$ y $ F$ y el punto $ F$ es el punto medio del segmento $ [PQ]$ . El círculo $ k_1$ es la circunferencia inscrita del triángulo $ \triangle SPA$ . El círculo $ k_2$ se encuentra fuera del triángulo $ \triangle SQA$ y toca al segmento $ [QA]$ y a las rectas $ SQ$ y $ SA$ . Demuestre que la suma de los radios de los círculos $ k_1$ y $ k_2$ es igual a la longitud de $ [FA]$ .

B2 Demuestra que entre cualesquiera diez enteros consecutivos al menos uno es primo relativo con cada uno de los demás.

1 Grado 10