Sea $n$ un entero positivo primo relativo a $6$ . Pintamos los vértices de un $n$ -ágono regular con tres colores de modo que haya un número impar de vértices de cada color. Muestre que existe un triángulo isósceles cuyos tres vértices son de colores distintos.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB = AC \neq BC$ y sea $I$ su incentro. La recta $BI$ corta a $AC$ en $D$ , y la recta que pasa por $D$ perpendicular a $AC$ corta a $AI$ en $E$ . Demuestre que el reflejo de $I$ respecto a $AC$ está sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $BDE$ .

Sean $a_1, a_2,...,a_n$ números reales positivos; demuestre que $$\sum {\frac{a_{i+1}}{a_i}} \ge \sum{\sqrt{\frac{a_{i+1}^2+1}{a_i^2+1}}}$$ $a_{n+1}=a_1$

Sea $K=(V, E)$ un grafo finito, simple y completo. Sea $\phi: E \to \mathbb{R}^2$ una aplicación del conjunto de aristas al plano, tal que la preimagen de cualquier punto en el recorrido define un grafo conexo sobre todo el conjunto de vértices $V$ , y los puntos asignados a las aristas de cualquier triángulo son colineales. Muestre que el recorrido de $\phi$ está contenido en una recta.

¿Para qué números naturales pares $d{}$ existe una constante $\lambda>0$ tal que cualquier polinomio reducido $f(x)$ de grado $d{}$ con coeficientes enteros que no tenga raíces reales satisface la desigualdad $f(x) > \lambda$ para todos los números reales?

Demuestre que todo número racional es representable como $x^4+y^4-z^4-t^4$ con $x,y,z,t$ racionales.

Sea $ABCD$ un trapecio, $AD\parallel BC$ , y sean $E,F$ puntos sobre los lados $AB$ y $CD$ , respectivamente. La circunferencia circunscrita de $AEF$ corta a $AD$ nuevamente en $A_1$ , y la circunferencia circunscrita de $CEF$ corta a $BC$ nuevamente en $C_1$ . Demuestre que $A_1C_1,BD,EF$ son concurrentes.

Un hexágono regular se divide mediante rectas paralelas a sus lados en $6n^2$ triángulos equiláteros. Sobre ellos hay $2n$ torres, de las cuales no hay dos que se ataquen entre sí (una torre ataca en direcciones paralelas a los lados del hexágono). Demuestre que si coloreamos los triángulos de blanco y negro de modo que no haya dos triángulos adyacentes del mismo color, habrá tantas torres sobre los triángulos negros como sobre los blancos.

Dos círculos, $\omega_1$ y $\omega_2$ , con centros en $O_1$ y $O_2$ , respectivamente, se cortan en los puntos $A$ y $B$ . Una recta que pasa por $B$ corta a $\omega_1$ nuevamente en $C$ , y a $\omega_2$ nuevamente en $D$ . Las tangentes a $\omega_1$ y $\omega_2$ en $C$ y $D$ , respectivamente, se cortan en $E$ , y la recta $AE$ corta al círculo $\omega$ que pasa por $A, O_1,O_2$ nuevamente en $F$ . Demuestre que la longitud del segmento $EF$ es igual al diámetro de $\omega$ . ThE-dArK-lOrD

Sea $n>4$ un número natural. Demuestre que \[\sum_{k=2}^n\sqrt[k]{\frac{k}{k-1}}<n.\]