2014 g8 Considere el triángulo $ABC$ , obtuso en $A$ . Las alturas sobre los lados opuestos son $AD$ , $BE$ y $CF$ (con $D, E, F$ en los respectivos segmentos $BC$ , $AC$ y $AB$ o en sus prolongaciones). Sean $E’$ y $F’$ los pies de las respectivas perpendiculares trazadas desde $E$ y $F$ sobre $BC$ . Suponga que $2E’F’= 2AD + BC$ . Determine $\angle A$ .

2015 g1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico, con $O$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$ . Demuestre que $\angle ABC = \angle AOB$ si y solo si $DA = AB$ .

11.3 Cuatro puntos $A$, $B$, $C$, $D$ están sobre la hipérbola $y=\frac{1}{x}$. En el triángulo $BCD$, el punto $A_1$ es el circuncentro del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de $BCD$. En los triángulos $ACD$, $ABD$ y $ABC$, los puntos $B_1$, $C_1$ y $D_1$ se eligen de manera análoga. Resultó que los puntos $A_1$, $B_1$, $C_1$ y $D_1$ son distintos dos a dos y concíclicos. Demuestre que el centro de esa circunferencia coincide con el punto $(0,0)$.

4 Cuatro enteros positivos $x,y,z$ y $t$ satisfacen las relaciones \[ xy - zt = x + y = z + t. \] ¿Es posible que tanto $xy$ como $zt$ sean cuadrados perfectos?

3 Sean $AD, BE$ y $CF$ las alturas del triángulo $\vartriangle ABC$ . Los puntos $E'$ y $F'$ son los reflejos de $E$ y $F$ sobre $AD$ , respectivamente. Las rectas $BF'$ y $CE'$ se cortan en $X$ , mientras que las rectas $BE'$ y $CF'$ se cortan en el punto $Y$ . Demuestre que si $H$ es el ortocentro de $\vartriangle ABC$ , entonces las rectas $AX, YH$ y $BC$ son concurrentes.

2 Determine el mayor número natural $ N $ que tiene la siguiente propiedad: toda matriz de $ 5\times 5 $ que consta de números naturales distintos por pares del $ 1 $ al $ 25 $ contiene una submatriz de $ 2\times 2 $ de números cuya suma es, al menos, $ N. $ Demetres Christofides y Silouan Brazitikos

1 Arthur y Renate juegan un juego en un tablero de $7 \times 7$ . Arthur tiene dos fichas rojas, colocadas inicialmente en las celdas de la esquina inferior izquierda y de la esquina superior derecha. Renate tiene dos fichas negras, colocadas inicialmente en las celdas de la esquina inferior derecha y de la esquina superior izquierda. En un movimiento, un jugador puede elegir una de sus dos fichas y moverla a una celda adyacente horizontal o verticalmente. Los jugadores se turnan, comenzando Arthur. Arthur gana cuando ambas de sus fichas están en celdas adyacentes horizontal o verticalmente después de un cierto número de movimientos. ¿Puede Renate impedir que él gane?

1 Sea un número natural $ n\ge 3. $ Halle $$ \inf_{\stackrel{ x_1,x_2,\ldots ,x_n\in\mathbb{R}_{>0}}{1=P\left( x_1,x_2,\ldots ,x_n\right)}}\sum_{i=1}^n\left( \frac{1}{x_i} -x_i \right) , $$ donde $ P\left( x_1,x_2,\ldots ,x_n\right) :=\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i+n-1} , $ y halle en qué circunstancias se alcanza este ínfimo.

4 Sean dos números naturales $ m,n, $ y $ m $ conjuntos de números naturales disjuntos por pares $ A_0,A_1,\ldots ,A_{m-1}, $ cada uno con $ n $ elementos, tales que ningún elemento de $ A_{i\pmod m} $ es divisible por un elemento de $ A_{i+1\pmod m} , $ para cualquier número natural $ i. $ Determine el número de pares ordenados $$ (a,b)\in\bigcup_{0\le j < m} A_j\times\bigcup_{0\le j < m} A_j $$ tales que $ a|b $ y tales que $ \{ a,b \}\not\in A_k, $ para cualquier $ k\in\{ 0,1,\ldots ,m-1 \} . $ Radu Bumbăcea

3 Sean tres enteros positivos $ a,b,c $ y una función $ f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N} $ definida como $$ f(n)=\left\{ \begin{matrix} n-a, & n>c\\ f\left( f(n+b) \right) ,& n\le c \end{matrix} \right. . $$ Determine el número de puntos fijos que tiene esta función.