8 Los números 1 y −1 se escriben en las celdas de un tablero 2000×2000. Se sabe que la suma de todos los números del tablero es positiva. Demuestre que se pueden seleccionar 1000 filas y 1000 columnas tales que la suma de los números escritos en sus celdas de intersección sea al menos 1000. D. Karpov

8 Sean $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios mónicos. Demuestre que la suma de los cuadrados de los coeficientes del polinomio $P(x)Q(x)$ no es menor que la suma de los cuadrados de los coeficientes libres de $P(x)$ y $Q(x)$ . A. Galochkin, O. Ljashko

1 ¿Pueden cubrirse los números $1,2,3,\ldots,100$ con $12$ progresiones geométricas? A. Golovanov

2012 TMO

2 Demuestre que toda función real, definida en todo $\mathbb R$ , puede representarse como la suma de dos funciones cuyas gráficas tienen ambas un eje de simetría. D. Tereshin

3 En un plano se dan dos puntos a distancia 1. Está permitido trazar una recta que pase por dos puntos marcados, así como una circunferencia con centro en un punto marcado y radio igual a la distancia entre dos puntos marcados cualesquiera. Por puntos marcados entendemos los dos puntos iniciales y los puntos de intersección de dos rectas, dos circunferencias, o una recta y una circunferencia construidos hasta el momento. Sea $C(n)$ el número mínimo de circunferencias necesarias para construir dos puntos a distancia $n$ si se usa únicamente un compás, y sea $LC(n)$ el número total mínimo de circunferencias y rectas necesario para hacerlo si se usan una regla y un compás, donde $n$ es un número natural. Demuestre que la sucesión $C(n)/LC(n)$ no está acotada. A. Belov

5 Demuestre que para todo número natural $a_1>1$ existe una sucesión creciente de números naturales $a_n$ tal que $a^2_1+a^2_2+\cdots+a^2_k$ es divisible por $a_1+a_2+\cdots+a_k$ para todo $k \geq 1$ . A. Golovanov

6 Un niño sube $n$ veces a un carrusel con $n$ asientos. Después de cada vez se mueve en el sentido de las agujas del reloj y toma otro asiento, sin dar una vuelta completa. El número de asientos que pasa por alto en cada movimiento se llama la longitud del movimiento. ¿Para cuáles $n$ puede sentarse en todos los asientos, si las longitudes de todos los $n-1$ movimientos que hace son todas diferentes? V. New

7 Las alturas de un tetraedro se intersecan en un punto. Demuestre que este punto, el pie de una de las alturas y los puntos que dividen a las otras tres alturas en la razón $2 : 1$ (midiendo desde los vértices) están sobre una esfera. D. Tereshin

1 Demuestre que si $(x+\sqrt{x^2 +1}) (y+\sqrt{y^2 +1}) = 1$ , entonces $x+y = 0$ .