5 Sean $a,b,c,d$ números reales tales que $a^2+b^2+c^2+d^2=1$. Determina el valor mínimo de $(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)$ y determina todos los valores de $(a,b,c,d)$ para los cuales se alcanza el valor mínimo.

3 Dos círculos $(O_1,R_1)$, $(O_2,R_2)$ son exteriores entre sí. Halle: a) la longitud mínima del segmento que une puntos de los círculos b) la longitud máxima del segmento que une puntos de los círculos.

4 Demuestre que no existen números naturales $k, m$ tales que los números $k^2+2m$, $m^2+2k$ sean cuadrados de enteros.

6 Algunas casillas de una tabla $n \times n$ ($n>2$) son negras, el resto son blancas. En cada casilla blanca escribimos el número de casillas negras que tienen al menos un vértice en común con ella. Encuentra la suma máxima posible de todos estos números.

1 Encuentra todos los enteros positivos $a,b$ y $c$ tales que $\frac{a+b}{a+c}=\frac{b+c}{b+a}$ y $ab+bc+ca$ es un número primo.

1 Una recta que pasa por el incentro $I$ del triángulo $ABC$ corta a su incircunferencia en $D$ y $E$ y a su circunferencia circunscrita en $F$ y $G$, de modo que el punto $D$ queda entre $I$ y $F$. Demuestra que: $DF \cdot EG \geq r^{2}$.

2 Sea $ABCD$ un tetraedro y sean $E,F,G,H,K,L$ puntos que están sobre las aristas $AB,BC,CD$ $,DA,DB,DC$ respectivamente, de tal manera que \[AE \cdot BE = BF \cdot CF = CG \cdot AG= DH \cdot AH=DK \cdot BK=DL \cdot CL.\] Demuestra que los puntos $E,F,G,H,K,L$ están todos sobre una esfera.

3 Sean $a,b,c$ números reales tales que $ab\neq 0$ y $c>0$. Sea $(a_{n})_{n\geq 1}$ la sucesión de números reales definida por: $a_{1}=a$, $a_{2}=b$ y \[ a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}+c}{a_{n-1}} \] para todo $n\geq 2$. Demuestra que todos los términos de la sucesión son números enteros si y solo si los números $a$, $b$ y $\frac{a^{2}+b^{2}+c}{ab}$ son enteros.

4 Sea $ABC$ un triángulo y $P$ un punto tal que los triángulos $PAB, PBC, PCA$ tienen la misma área y el mismo perímetro. Demuestra que si: a) $P$ está en el interior del triángulo $ABC$ entonces $ABC$ es equilátero. b) $P$ está en el exterior del triángulo $ABC$ entonces $ABC$ es un triángulo rectángulo. Cezar

C2 Alicia está dibujando una figura en un papel. Empieza colocando su lápiz en el origen, y luego dibuja segmentos de recta de longitud uno, alternando entre segmentos verticales y horizontales. Finalmente, su lápiz regresa al origen, formando una figura cerrada que no se interseca a sí misma. Demuestra que el área de esta figura es par si y solo si su perímetro es un múltiplo de ocho.