1 Considere $m+1$ rectas horizontales y $n+1$ rectas verticales ( $m,n\ge 4$ ) en el plano que forman una tabla de $m\times n$ . Considere un camino cerrado sobre los segmentos de esta tabla tal que no se interseca a sí mismo y además pasa por todos los $(m-1)(n-1)$ vértices interiores (cada vértice es un punto de intersección de dos rectas) y no pasa por ninguno de los vértices exteriores. Suponga que $A$ es el número de vértices por los cuales el camino pasa de frente, $B$ el número de cuadrados de la tabla de los cuales solo se usan sus dos lados opuestos en el camino, y $C$ el número de cuadrados de la tabla de los cuales no se usa ninguno de sus lados en el camino. Demuestre que \[A=B-C+m+n-1.\] Propuesto por Ali Khezeli

N2 Los números reales $x, y$ y $z$ son tales que $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ . a) Determine los valores más pequeño y más grande posibles de $xy + yz - xz$ . b) Demuestre que no existe una terna $(x, y, z)$ de números racionales que alcance alguno de los dos valores de a).

N3 Para cualquier conjunto $A = \{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\}$ de cinco enteros positivos distintos, denotemos por $S_A$ la suma de sus elementos, y denotemos por $T_A$ el número de ternas $(i, j, k)$ con $1 \le i < j < k \le 5$ para las cuales $x_i + x_j + x_k$ divide a $S_A$ . Halle el mayor valor posible de $T_A$ .

1 Problema 3 para grado

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con ángulo recto en $\angle BAC$ y $AB = \frac12 BC$. Sea $D$ el punto medio de $BC$ y $E$ el punto en el mismo semiplano que $A$ respecto a la recta $BC$ tal que $DE = AB$. Desde el punto $E$, la perpendicular a $AC$ la corta en el punto $F$. La recta $DF$ interseca a $AE$ en el punto $G$. Demuestra que $GD$ es perpendicular a $AE$.

5 La recta $\ell$ interseca los lados $BC$ y $AD$ del cuadrilátero cíclico $ABCD$ en sus puntos interiores $R$ y $S$ , respectivamente, e interseca el rayo $DC$ más allá del punto $C$ en $Q$ , y el rayo $BA$ más allá del punto $A$ en $P$ . Las circunferencias circunscritas de los triángulos $QCR$ y $QDS$ se intersecan en $N \neq Q$ , mientras que las circunferencias circunscritas de los triángulos $PAS$ y $PBR$ se intersecan en $M\neq P$ . Las rectas $MP$ y $NQ$ se cortan en el punto $X$ , las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en el punto $K$ y las rectas $BC$ y $AD$ se cortan en el punto $L$ . Demuestre que el punto $X$ se encuentra sobre la recta $KL$ .

2 Una sucesión de enteros $a_0, a_1 …$ se llama kawaii si $a_0 =0, a_1=1,$ y $$(a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n)(a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n)=0$$ para todo entero $n \geq 0$ . Un entero se llama kawaii si pertenece a alguna sucesión kawaii. Suponga que dos enteros consecutivos $m$ y $m+1$ son ambos kawaii (no necesariamente pertenecientes a la misma sucesión kawaii). Demuestre que $m$ es divisible por $3,$ y que $m/3$ también es kawaii.

2 Se da un triángulo acutángulo $ABC$ con ortocentro en el punto $H$ . Demuestre que $$AH \cdot h_a+BH \cdot h_b+CH \cdot h_c=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$$ donde $a$ , $b$ y $c$ son los lados del triángulo, y $h_a$ , $h_b$ y $h_c$ las alturas de $ABC$

3 Sea $N$ un entero positivo, y considere una cuadrícula de $N \times N$ . Un camino derecha-abajo es una sucesión de celdas de la cuadrícula tal que cada celda está una celda a la derecha o una celda debajo de la celda anterior en la sucesión. Un camino derecha-arriba es una sucesión de celdas de la cuadrícula tal que cada celda está una celda a la derecha o una celda encima de la celda anterior en la sucesión. Demuestre que las celdas de la cuadrícula de $N \times N$ no pueden particionarse en menos de $N$ caminos derecha-abajo o derecha-arriba. Por ejemplo, la siguiente partición de la cuadrícula de $5 \times 5$ usa $5$ caminos. [asy] size(4cm); draw((5,-1)--(0,-1)--(0,-2)--(5,-2)--(5,-3)--(0,-3)--(0,-4)--(5,-4),gray+linewidth(0.5)+miterjoin); draw((1,-5)--(1,0)--(2,0)--(2,-5)--(3,-5)--(3,0)--(4,0)--(4,-5),gray+linewidth(0.5)+miterjoin); draw((0,0)--(5,0)--(5,-5)--(0,-5)--cycle,black+linewidth(2.5)+miterjoin); draw((0,-1)--(3,-1)--(3,-2)--(1,-2)--(1,-4)--(4,-4)--(4,-3)--(2,-3)--(2,-2),black+linewidth(2.5)+miterjoin); draw((3,0)--(3,-1),black+linewidth(2.5)+miterjoin); draw((1,-4)--(1,-5),black+linewidth(2.5)+miterjoin); draw((4,-3)--(4,-1)--(5,-1),black+linewidth(2.5)+miterjoin); [/asy] Propuesto por Zixiang Zhou, Canadá

3 Problema 3 para el grado