4 Se da un tablero de ajedrez $m \times n$ con $m,n \ge 2$ . Se colocan algunos dominós sobre el tablero de modo que se satisfacen las siguientes condiciones: (i) Cada dominó ocupa dos casillas adyacentes del tablero, (ii) No es posible colocar otro dominó sobre el tablero sin superponerlo, (iii) No es posible deslizar un dominó horizontal o verticalmente sin superponerlo. Demuestre que el número de casillas que no están cubiertas por un dominó es menor que $\frac15 mn$ .

2 Sea $n \ge 4$ un entero. Halle todas las sucesiones de números reales $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ que satisfacen simultáneamente las siguientes ecuaciones: \begin{align*} x_1^3 + x_2 &= x_2x_3 + 1 \\ x_2^3 + x_3 &= x_3x_4 + 1 \\ &\:\:\vdots \\ x_n^3 + x_1 &= x_1x_2 + 1 \end{align*}

G1 En el triángulo \(ABC\), \(\angle BAC\) es agudo, la bisectriz del \(\angle BAC\) corta a \(BC\) en \(D\), \(K\) es el pie de la perpendicular desde \(B\) a \(AC\), y \(\angle ADB = 45^o\). El punto \(P\) está entre \(K\) y \(C\) tal que \(\angle KDP = 30^o\). El punto \(Q\) está sobre el rayo \(DP\) tal que \(DQ = DK\). La perpendicular en \(P\) a \(AC\) corta a \(KD\) en \(L\). Demuestra que \(PL^2 = DQ \cdot PQ\).

9 Sea $T_1$ un triángulo que tiene a $a, b, c$ como longitudes de sus lados y sea $T_2$ otro triángulo que tiene a $u, v,w$ como longitudes de sus lados. Si $P,Q$ son las áreas de los dos triángulos, demuestre que \[16PQ \leq a^2(-u^2 + v^2 + w^2) + b^2(u^2 - v^2 + w^2) + c^2(u^2 + v^2 - w^2).\] ¿Cuándo se cumple la igualdad? Amir

3 Sea $n$ un entero positivo. Considere una cuadrícula de $2 \times n$ dividida en cuadrados de $1 \times 1$. Cada uno de los cuadrados está etiquetado con un número distinto seleccionado del $1$ al $2n$, usando cada número exactamente una vez. Definimos un camino en la cuadrícula etiquetada como una sucesión de cuadrados, tal que cada par de cuadrados consecutivos comparte un lado en la cuadrícula, y que nunca visita un cuadrado más de una vez. Un camino es ascendente si las etiquetas de los cuadrados visitados están en orden creciente (es decir, si el camino pasa por el cuadrado etiquetado con $i$ y luego visita el cuadrado etiquetado con $j$, entonces $i < j$). Finalmente, un camino es completo si comienza en el cuadrado etiquetado con $1$ y termina en el cuadrado etiquetado con $2n$. Para cada una de las etiquetaciones del rectángulo de $2 \times n$ calculamos el número de caminos ascendentes completos. Determine el máximo de estos números en términos de $n$. Nota. En el siguiente tablero de $2 \times 5$, el camino $1, 3, 8, 10$ es un camino ascendente completo. [asy] unitsize(1cm); for(int i = 0; i < 3; ++i) { draw((0,i)--(5,i)); } for(int i = 0; i < 6; ++i) { draw((i,0)--(i,2)); } int[] a = {7,9,1,3,6}; int[] b = {4,2,5,8,10}; for(int i = 0; i < 5; ++i) { label((i + 0.5, 1.5), "$" + string(a[i]) + "$"); label((i + 0.5, 0.5), "$" + string(b[i]) + "$"); } draw((2.6,1.5)--(3.2,1.5){right}..(3.5,1.2){down}--(3.5,0.8){down}..(3.8,0.5){right}--(4.4,0.5), linewidth(1.5pt),EndArrow(size=2pt, arrowhead=HookHead)); [/asy]

A7 Sea $n\geq 2$ un entero positivo y sea \begin{align*} P(x) = c_0 X^n + c_1 X^{n-1} + \ldots + c_{n-1} X +c_n \end{align*} un polinomio con coeficientes enteros, tal que $\mid c_n \mid$ es un número primo y \begin{align*} |c_0| + |c_1| + \ldots + |c_{n-1}| < |c_n| \end{align*} Demuestra que el polinomio $P(X)$ es irreducible en $\mathbb{Z}[x]$.

A8 Para todo entero positivo $m$ y para todos los números reales no negativos $x,y,z$, denota \begin{align*} K_m =x(x-y)^m (x-z)^m + y (y-x)^m (y-z)^m + z(z-x)^m (z-y)^m \end{align*} Demuestra que $K_m \geq 0$ para todo entero positivo impar $m$. Sea $M$ $= \prod_{cyc} (x-y)^2$. Demuestra que $K_7+M^2 K_1 \geq M K_4$.

4 A Lalo le regalaron una red mágica como la que se muestra en la figura. La red consta de $20$ vértices unidos por algunas aristas. Lalo coloca, una por una, hormigas en los vértices de la red. Las hormigas caminan por las aristas y, al hacerlo, las aristas recorridas desaparecen. Lalo tiene $n$ hormigas y juega colocándolas de la siguiente manera: 1. Coloca una hormiga en un vértice y esta camina libremente hasta que Lalo decide retirarla después de que llegue a algún vértice. Luego, coloca la siguiente hormiga. 2. Cada hormiga recorre al menos una arista. 3. No hay tres hormigas que recorran la misma cantidad de aristas de la red mágica. Lalo usó cada una de sus hormigas exactamente una vez y, al final, la red mágica había desaparecido por completo. ¿Cuál es el número máximo de aristas que una de las hormigas de Lalo pudo haber recorrido? [asy] for(int i = 0; i < 5; ++i) { dot(3*dir(72 * i - 18)); dot(2*dir(72 * i - 18)); dot(1.4*dir(72 * i - 18 + 36)); dot(0.7*dir(72 * i - 18 + 180)); draw(3*dir(72 * i - 18) -- 3*dir(72 * i - 18 + 72)); draw(3*dir(72 * i - 18) -- 2*dir(72 * i - 18)); draw(2*dir(72 * i - 18) -- 1.4*dir(72 * i - 18 + 36) -- 2*dir(72 * i - 18 + 72)); draw(1.4*dir(72 * i - 18 + 36) -- 0.7*dir(72 * i - 18 + 36)); draw(0.7*dir(72 * i - 18 + 36) -- 0.7*dir(72 * i - 18 + 36 + 72)); } [/asy]

5 Determine para qué enteros positivos $n \ge 3$ existen $n$ números primos no necesariamente distintos $p_1, p_2, \dots, p_n$ tales que \[p_1p_2 + 1, p_2p_3 + 1, \dots, p_{n - 1}p_n + 1 \quad\text{and}\quad p_np_1 + 1\] son todos potencias perfectas. Nota. Una potencia perfecta es un número de la forma $a^k$ donde $a$ y $k$ son enteros positivos con $k \ge 2$.

1 La figura muestra las 6 coloraciones con cuatro colores diferentes de un cuadrado de $1\times 1$ dividido en cuatro celdas de $\tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2}$ (dos coloraciones se consideran iguales si una es el resultado de rotar la otra). Cada una de las coloraciones de $1\times 1$ se usará como pieza de un rompecabezas. Las piezas pueden rotarse pero no reflejarse. Dos piezas encajan si, al compartir un lado, las celdas de $\tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2}$ que se tocan son del mismo color respectivamente (véanse los ejemplos). ¿Es posible armar un rompecabezas de $3 \times 2$ usando cada una de las 6 piezas exactamente una vez y de modo que cada par de piezas adyacentes encaje? https://imagizer.imageshack.com/img922/6019/ZUKcED.jpg