2 Sean $x, y,$ y $z$ números reales positivos tales que $xy + yz + zx = 27$ . Demuestre que $x + y + z \ge \sqrt{3xyz}$ . ¿Cuándo se cumple la igualdad?

3 Resuelva la siguiente ecuación en el conjunto de los números enteros $x^5 + 2 = 3 \cdot 101^y$ .

4 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con base $AC$ . Los puntos $D$ y $E$ se eligen sobre los lados $AC$ y $BC$ , respectivamente, tales que $CD = DE$ . Sean $H, J,$ y $K$ los puntos medios de $DE, AE,$ y $BD$ , respectivamente. La circunferencia circunscrita del triángulo $DHK$ interseca a $AD$ en el punto $F$ , mientras que la circunferencia circunscrita del triángulo $HEJ$ interseca a $BE$ en $G$ . La recta que pasa por $K$ paralela a $AC$ interseca a $AB$ en $I$ . Sea $IH \cap GF =$ { $M$ } . Demuestre que $J, M,$ y $K$ son puntos colineales.

Sean $x$ , $y$ y $z$ números reales positivos tales que $x+y+z = 1$ . Demuestre la desigualdad: $$\frac{x^2}{1+y}+\frac{y^2}{1+z} +\frac{z^2}{1+x} \leq 1$$

4 Determine todos los pares $(p, q)$ , $p, q \in \mathbb {N}$ , tales que $(p + 1)^{p - 1} + (p - 1)^{p + 1} = q^q$ .

5 Un $2018$ -ágono regular está inscrito en un círculo. Los números $1, 2, ..., 2018$ se colocan en los vértices del $2018$ -ágono, con un número en cada vértice, de modo que la suma de cualesquiera $2$ números vecinos ( $2$ números son vecinos si los vértices en los que están se encuentran sobre un lado del polígono) es igual a la suma de los $2$ números que están en los antípodas de esos $2$ vértices (con respecto al círculo dado). Determine el número de ordenaciones diferentes de los números. (Dos ordenaciones son idénticas si se puede pasar de una a la otra rotando alrededor del centro del círculo).

1 Determine todos los enteros positivos $n>2$ , tales que $n = a^3 + b^3$ , donde $a$ es el divisor positivo más pequeño de $n$ mayor que $1$ y $b$ es un divisor positivo arbitrario de $n$ .

5 Sea $T$ un triángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras, tal que cada lado de $T$ contiene exactamente $m$ puntos con coordenadas enteras. Si el área de $T$ es menor que $2020$ , determine el mayor valor posible de $m$ .

4 Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo y sea $k$ su círculo circunscrito. Se da un punto $O$ en el interior del triángulo, tal que $CE=CF$ , donde $E$ y $F$ están sobre $k$ y $E$ se encuentra sobre $AO$ mientras que $F$ se encuentra sobre $BO$ . Demuestre que $O$ está sobre la bisectriz del ángulo $\angle ACB$ si y solo si $AC=BC$ .

5 $A$ y $B$ son dos polígonos convexos idénticos, cada uno con área $2015$ . El polígono $A$ se divide en los polígonos $A_1, A_2,...,A_{2015}$ , mientras que $B$ se divide en los polígonos $B_1, B_2,...,B_{2015}$ . Cada uno de estos polígonos más pequeños tiene área positiva. Además, $A_1, A_2,...,A_{2015}$ y $B_1, B_2,...,B_{2015}$ se colorean con $2015$ colores distintos, de modo que $A_i$ y $A_j$ tienen colores diferentes para todo par de índices distintos $i$ y $j$ y $B_i$ y $B_j$ también tienen colores diferentes para todo par de índices distintos $i$ y $j$ . Después de superponer $A$ y $B$ , calculamos la suma de las áreas con los mismos colores. Demuestre que podemos colorear los polígonos de modo que esta suma sea al menos $1$ .