1 a.) Para todo entero positivo $k$ halle el menor entero positivo $f(k)$ tal que existen $5$ conjuntos $s_1,s_2, \ldots , s_5$ que satisfacen: i. cada uno tiene $k$ elementos; ii. $s_i$ y $s_{i+1}$ son disjuntos para $i=1,2,...,5$ ( $s_6=s_1$ ) iii. la unión de los $5$ conjuntos tiene exactamente $f(k)$ elementos. b.) Generalización: Considere $n \geq 3$ conjuntos en lugar de $5$ .

A1 Demuestra que para todos los enteros positivos $d{}$ suficientemente grandes, al menos el $99\%$ de los polinomios de la forma \[\sum_{i\leqslant d}\sum_{j\leqslant d}\pm x^iy^j\] son irreducibles sobre los enteros.

2 Dado un tetraedro $ABCD$ , $E$ , $F$ , $G$ están respectivamente sobre los segmentos $AB$ , $AC$ y $AD$ . Demuestre que: i) el área de $EFG \leq$ máx{área de $ABC$ , área de $ABD$ , área de $ACD$ , área de $BCD$ } . ii) Lo mismo que arriba reemplazando «área» por «perímetro».

3 Sean $x_i,$ $1 \leq i \leq n$ números reales con $n \geq 3.$ Sean $p$ y $q$ sus sumas simétricas de grado $1$ y $2$ respectivamente. Demuestre que: i) $p^2 \cdot \frac{n-1}{n}-2q \geq 0$ ii) $\left|x_i - \frac{p}{n}\right| \leq \sqrt{p^2 - \frac{2nq}{n-1}} \cdot \frac{n-1}{n}$ para todo $i$ para el cual tenga sentido.

4 Marque $4 \cdot k$ puntos en una circunferencia y numérelos arbitrariamente con números de $1$ a $4 \cdot k$ . Las cuerdas no pueden compartir extremos comunes; además, los extremos de estas cuerdas deben estar entre los $4 \cdot k$ puntos. i. Demuestre que se pueden trazar $2 \cdot k$ cuerdas no intersecantes dos a dos, de modo que los extremos de cada una de ellas difieran en a lo sumo $3 \cdot k - 1$ . ii. Demuestre que el $3 \cdot k - 1$ no puede mejorarse.

5 Hay $2025$ personas y $66$ colores, y cada persona tiene una bola de cada color. Para cada persona, sus $66$ bolas tienen masa positiva cuya suma es uno. Halle la menor constante $C$ tal que, independientemente de la distribución de las masas, cada persona pueda elegir una bola de modo que la suma de las bolas elegidas de cada color no supere $C$ .

6 Fije un número primo impar $p$ . Halle el mayor entero positivo $n$ tal que existen puntos $A_1,A_2,\cdots,A_n$ en el plano con coordenadas enteras y sin tres puntos colineales. Además, para cualesquiera $1\le i<j<k\le n$ , se tiene $p \nmid 2S_{\Delta A_iA_j A_k}.$

1 Dado un cuadrado $ABCD$ cuyo lado mide $1$ , $P$ y $Q$ son puntos sobre los lados $AB$ y $AD$ . Si el perímetro de $APQ$ es $2$ , halle el ángulo $PCQ$ .

4 Dado un triángulo $ABC$ para el cual $C=90$ grados, demuestre que dados $n$ puntos en su interior, podemos nombrarlos $P_1, P_2 , \ldots , P_n$ de alguna manera tal que: $\sum^{n-1}_{k=1} \left( P_K P_{k+1} \right)^2 \leq AB^2$ (la suma se efectúa sobre los cuadrados consecutivos de los segmentos de $1$ hasta $n-1$ ) . Editado por orl.

3 Sean $r_1=2$ y $r_n = \prod^{n-1}_{k=1} r_i + 1$ , $n \geq 2.$ Demuestre que entre todos los conjuntos de enteros positivos tales que $\sum^{n}_{k=1} \frac{1}{a_i} < 1,$ las sucesiones parciales $r_1,r_2, ... , r_n$ son las que más se acercan a 1.