G2 Sean $R$ y $S$ puntos diferentes sobre una circunferencia $\Omega$ tales que $RS$ no es un diámetro. Sea $\ell$ la recta tangente a $\Omega$ en $R$ . El punto $T$ es tal que $S$ es el punto medio del segmento de recta $RT$ . El punto $J$ se elige sobre el arco menor $RS$ de $\Omega$ de modo que la circunferencia circunscrita $\Gamma$ del triángulo $JST$ interseca $\ell$ en dos puntos distintos. Sea $A$ el punto común de $\Gamma$ y $\ell$ que está más cerca de $R$ . La recta $AJ$ encuentra a $\Omega$ nuevamente en $K$ . Demuestre que la recta $KT$ es tangente a $\Gamma$ . Propuesto por Charles Leytem, Luxemburgo Amir

2 Arcoíris es el nombre de un pájaro. Este pájaro tiene $n$ colores y sus colores en dos días consecutivos no son iguales. No existen $4$ días en la vida de este pájaro, digamos $i,j,k,l$ , tales que $i<j<k<l$ y el pájaro tenga el mismo color en los días $i$ y $k$ y el mismo color en los días $j$ y $l$ , diferente de los colores que tiene en los días $i$ y $k$ . ¿Cuál es el número máximo de días que Arcoíris puede vivir en términos de $n$ ?

2019.6 Dado un cuadrilátero $ABCD$ que contiene una circunferencia $\omega$ con centro $I$ , las rectas $AD$ y $BC$ se intersecan en el punto $Q$ , y las rectas $AB$ y $CD$ se intersecan en el punto $P$ , donde el punto $B$ está sobre el segmento $AP$ y el punto $D$ sobre el segmento $AQ$ . Sean $X$ e $Y$ los centros de las circunferencias inscritas en los triángulos $P BD$ y $QBD$ . Demuestre que si las rectas $P Y$ y $QX$ se intersecan en el punto $R$ , entonces $RI \perp BD$ .

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y no isósceles con ortocentro $H$ . Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ y sea $K$ el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $AHO$ . Demuestre que el reflejo de $K$ respecto de $OH$ se encuentra sobre $BC$ .

1 Halle todos los valores reales de $a$ para los cuales la ecuación $x(x+1)^3=(2x+a)(x+a+1)$ tiene cuatro raíces reales distintas.

1 Determine todos los enteros positivos $k$ y $n$ que satisfacen la ecuación $$k^2 - 2016 = 3^n$$ (Stephan Wagner)

1 En el plano, los puntos con coordenadas enteras son los vértices de cuadrados unitarios. Los cuadrados están coloreados alternadamente de negro y blanco (como en un tablero de ajedrez). Para cualquier par de enteros positivos $ m$ y $ n$ , considere un triángulo rectángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras y cuyos catetos, de longitudes $ m$ y $ n$ , se encuentran sobre aristas de los cuadrados. Sea $ S_1$ el área total de la parte negra del triángulo y $ S_2$ el área total de la parte blanca. Sea $ f(m,n) = | S_1 - S_2 |$ . a) Calcule $ f(m,n)$ para todos los enteros positivos $ m$ y $ n$ que son ambos pares o ambos impares. b) Demuestre que $ f(m,n) \leq \frac 12 \max \{m,n \}$ para todos los $ m$ y $ n$ . c) Muestre que no existe ninguna constante $ C\in\mathbb{R}$ tal que $ f(m,n) < C$ para todos los $ m$ y $ n$ . Valentin

1 Se nos da un trapecio $ABCD$ con $AB \parallel CD$ , $CD=2AB$ y $DB \perp BC$ . Sea $E$ la intersección de las rectas $DA$ y $CB$ , y $M$ el punto medio de $DC$ . (a) Demuestre que $ABMD$ es un rombo. (b) Demuestre que el triángulo $CDE$ es isósceles. (c) Si $AM$ y $BD$ se cortan en $O$ , y $OE$ y $AB$ se cortan en $N,$ demuestre que la recta $DN$ biseca al segmento $EB$ .

5 Un programa de computadora genera una sucesión de números con la siguiente regla: el primer número lo escribe Camilo; a partir de allí, el programa calcula la división entera del último número generado por $18$ ; así obtiene un cociente y un resto. La suma de ese cociente más ese resto es el siguiente número generado. Por ejemplo, si el número de Camilo es $5291,$ la computadora hace $5291 = 293 \times 18 + 17$ , y genera $310 = 293 + 17$ . El siguiente número generado será $21$ , ya que $310 = 17 \times 18 + 4$ y $17 + 4= 21$ ; etc. Cualquiera sea el número inicial de Camilo, a partir de algún momento la computadora genera siempre el mismo número. Determine cuál es ese número que se repetirá indefinidamente, si el número inicial de Camilo es igual a $2^{110}.$

8 Para un torneo con $8$ vértices, si desde cualquier vértice es imposible seguir una ruta que regrese a sí mismo, llamamos al grafo un grafo bueno. De lo contrario, lo llamamos un grafo malo. Demuestre que $(1)$ existe un torneo con $8$ vértices tal que después de cambiar la orientación de a lo sumo $7$ aristas cualesquiera del torneo, el grafo es siempre un grafo malo; $(2)$ para cualquier torneo con $8$ vértices, se puede cambiar la orientación de a lo sumo $8$ aristas del torneo para obtener un grafo bueno. (Un torneo es un grafo completo con aristas dirigidas.)