5 Una sucesión ( $a_n$ ) está dada por $a_0 = 0, a_1 = 1$ y $a_{k+2} = a_{k+1} +a_k$ para todos los enteros $k \ge 0$ . Demuestre que la desigualdad $\sum_{k=0}^n \frac{a_k}{2^k}< 2$ se cumple para todos los enteros positivos $n$ .

6a Halle todos los pares reales $(x,y)$ que resuelven el sistema de ecuaciones \begin{align} x^5 &= 21x^3+y^3 \\ y^5 &= x^3+21y^3. \end{align}

5 La sucesión de Fibonacci está dada por $x_1 = x_2 = 1$ y $x_{k+2} = x_{k+1} + x_k$ para cada $k \in N$ . (a) Demuestre que hay números de Fibonacci que terminan en un $9$ en el sistema decimal. (b) Determine para cuáles $n$ un número de Fibonacci puede terminar en $n$ $9$ - s en el sistema decimal.

6b Demuestre que el siguiente enunciado se cumple para todos los enteros impares $n \ge 3$ : Si un cuadrilátero $ABCD$ puede particionarse mediante rectas en $n$ cuadriláteros cíclicos, entonces $ABCD$ es a su vez cíclico.

1 Demuestre que no existen cuadrados perfectos $a,b,c$ tales que $ab-bc = a$ .

3 En un cuadrilátero convexo $ABCD$ se nos da que $\angle CBD = 10^o$ , $\angle CAD = 20^o$ , $\angle ABD = 40^o$ , $\angle BAC = 50^o$ . Determine los ángulos $\angle BCD$ y $\angle ADC$ .

4 Halle todas las soluciones reales $(x,y,z)$ del sistema de ecuaciones $$\begin{cases} x^3 = 2y-1 \\y^3 = 2z-1\\ z^3 = 2x-1\end{cases}$$

5 Se nos dan $n$ discos en un plano, posiblemente superpuestos, cuya unión tiene área $1$ . Demuestre que podemos elegir algunos de ellos que sean mutuamente disjuntos y tengan área total mayor que $1/9$ .

3 Determine todos aquellos polígonos convexos $P_1P_2...P_n$ en cuyo interior existe un punto $X$ , para el cual $$P_1X^2 + P_2X^2 + ... + P_nX^2$$ es igual al doble del área de $P_1P_2...P_n$ .

6a Definamos $f$ y $g$ mediante $f(x) = x^5 +5x^4 +5x^3 +5x^2 +1$ , $g(x) = x^5 +5x^4 +3x^3 -5x^2 -1$ . Determine todos los números primos $p$ tales que, para al menos un entero $x, 0 \le x < p-1$ , tanto $f(x)$ como $g(x)$ son divisibles por $p$ . Para cada uno de tales $p$ , halle todos los $x$ con esta propiedad.