2 Determina todas las funciones \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) tales que \[ xf(xy) + xyf(x) \ge f(x^2)f(y) + x^2y \] se cumple para todos \( x,y \in \mathbb{R} \).

5 Sea $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función tal que $f(x-y) = f(x)f(y)$ y $f(x) \neq 0$ para todo $x$ . Halle $f(3)$ .

En una sala hay varias personas, algunas de las cuales siempre mienten y todas las demás siempre dicen la verdad. Sus edades son todas distintas dos a dos. Cada persona dice una de las siguientes frases: «En esta sala hay el mismo número de veraces mayores que yo que de mentirosos menores que yo» o «En esta sala hay el mismo número de veraces menores que yo que de mentirosos mayores que yo». ¿Cuál es el número máximo posible de veraces en la sala? Encuentre un ejemplo en el que se alcance este máximo y demuestre que un número mayor es imposible.

4 Sea $P=[a_{ij}]_{3\times 9}$ una matriz $3\times 9$ donde $a_{ij}\ge 0$ para todo $i,j$ . Se dan las siguientes condiciones: cada fila consta de números distintos; $\sum_{i=1}^{3}x_{ij}=1$ para $1\le j\le 6$ ; $x_{17}=x_{28}=x_{39}=0$ ; $x_{ij}>1$ para todo $1\le i\le 3$ y $7\le j\le 9$ tal que $j-i\not= 6$ . Las tres primeras columnas de $P$ satisfacen la siguiente propiedad $(R)$ : para una columna arbitraria $[x_{1k},x_{2k},x_{3k}]^T$ , $1\le k\le 9$ , existe un $i\in\{1,2,3\}$ tal que $x_{ik}\le u_i=\min (x_{i1},x_{i2},x_{i3})$ . Demuestre que: a) los elementos $u_1,u_2,u_3$ provienen de tres columnas distintas; b) si una columna $[x_{1l},x_{2l},x_{3l}]^T$ de $P$ , donde $l\ge 4$ , satisface la condición de que, después de reemplazar la tercera columna de $P$ por ella, las tres primeras columnas de la matriz recién obtenida $P'$ siguen teniendo la propiedad $(R)$ , entonces esta columna existe de manera única.

4 a) Demuestre que para todo $m,n\in \mathbb N$ existe un número natural $a$ tal que si coloreamos cada subconjunto de $3$ elementos del conjunto $\mathcal A=\{1,2,3,...,a\}$ usando $2$ colores, rojo y verde, entonces existe un subconjunto de $m$ elementos de $\mathcal A$ tal que todos sus subconjuntos de $3$ elementos son rojos, o existe un subconjunto de $n$ elementos de $\mathcal A$ tal que todos sus subconjuntos de $3$ elementos son verdes. b) Demuestre que para todo $m,n\in \mathbb N$ existe un número natural $a$ tal que si coloreamos cada subconjunto de $k$ elementos ( $k>3$ ) del conjunto $\mathcal A=\{1,2,3,...,a\}$ usando $2$ colores, rojo y verde, entonces existe un subconjunto de $m$ elementos de $\mathcal A$ tal que todos sus subconjuntos de $k$ elementos son rojos, o existe un subconjunto de $n$ elementos de $\mathcal A$ tal que todos sus subconjuntos de $k$ elementos son verdes.

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $D$ y $E$ los puntos medios de los lados $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$, respectivamente. Sea $F$ el punto tal que $D$ es el punto medio de $\overline{EF}$. Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita del triángulo $FDB$. Sea $G$ un punto en el segmento $\overline{CD}$ tal que el punto medio de $\overline{BG}$ está en $\Gamma$. Sea $H$ la segunda intersección de $\Gamma$ con $FC$. Demuestra que el cuadrilátero $BHGC$ es cíclico. Propuesto por Art Waeterschoot.

B4 El siguiente problema está abierto en el sentido de que la respuesta a la parte (b) no se conoce actualmente. a) Determine todas las ternas de enteros $(x,y,q)$ que satisfacen la ecuación \[ x^3+x^2+x+1=y^q\] donde $q\geq 3$ es impar. b) Determine todas las cuádruplas de enteros $(x,y,n,q)$ que satisfacen la ecuación \[ x^n+x^{n-1} + \dots+x+1=y^q\] donde $n,q \geq 2$ .

Un conjunto finito de enteros positivos $A$ se llama *meanly* si para cada uno de sus subconjuntos no vacíos, la media aritmética de sus elementos es también un entero positivo. En otras palabras, $A$ es *meanly* si $\frac{1}{k}(a_1 + \dots + a_k)$ es un entero siempre que $k \ge 1$ y $a_1, \dots, a_k \in A$ sean distintos. Dado un entero positivo $n$, determina la menor suma posible de los elementos de un conjunto *meanly* de $n$ elementos.

8 Determina todas las cuádruplas $(x,y,z,t)$ de enteros positivos tales que \[ 20^x + 14^{2y} = (x + 2y + z)^{zt}.\]

2 Suponga que $N\in \mathbb N$ no es un cuadrado perfecto; entonces sabemos que la fracción continua de $\sqrt{N}$ es de la forma $\sqrt{N}=[a_0,\overline{a_1,a_2,...,a_n}]$ . Si $a_1\neq 1$ demuestre que $a_i\le 2a_0$ .