Un tri\'angulo agujereado es un tri\'angulo equil\'atero hacia arriba de longitud de lado $n$ con $n$ agujeros triangulares unitarios hacia arriba recortados. Un diamante es un rombo unitario de $60^\circ-120^\circ$. Demuestre que un tri\'angulo agujereado $T$ se puede teselar con diamantes si y solo si se cumple la siguiente condición: Cada tri\'angulo equil\'atero hacia arriba de longitud de lado $k$ en $T$ contiene como m\'aximo $k$ agujeros, para $1\leq k\leq n$ .

Sea $ S$ un conjunto finito de puntos en el plano tal que no hay tres de ellos en una l\'inea. Para cada pol\'igono convexo $ P$ cuyos v\'ertices est\'an en $ S$ , sea $ a(P)$ el n\'umero de v\'ertices de $ P$ , y sea $ b(P)$ el n\'umero de puntos de $ S$ que est\'an fuera de $ P$ . Un segmento de l\'inea, un punto y el conjunto vac\'io se consideran pol\'igonos convexos de $ 2$ , $ 1$ y $ 0$ v\'ertices respectivamente. Demuestre que para cada n\'umero real $ x$ \n\[\sum_{P}{x^{a(P)}(1 - x)^{b(P)}} = 1,\]\ndonde la suma se toma sobre todos los pol\'igonos convexos con v\'ertices en $ S$ . Formulación alternativa : Sea $ M$ un conjunto finito de puntos en el plano y no hay tres puntos colineales. Un subconjunto $ A$ de $ M$ se llamar\'a redondo si sus elementos es el conjunto de v\'ertices de un $ A -$ g on convexo $ V(A).$ Para cada subconjunto redondo sea $ r(A)$ el n\'umero de puntos de $ M$ que son exteriores al $ A -$ g on convexo $ V(A).$ Los subconjuntos con $ 0,1$ y 2 elementos son siempre redondos, sus pol\'igonos correspondientes son el conjunto vac\'io, un punto o un segmento, respectivamente (para los cuales todos los dem\'as puntos que no son v\'ertices del pol\'igono son exteriores). Para cada subconjunto redondo $ A$ de $ M$ construya el polinomio\n\[ P_A(x) = x^{|A|}(1 - x)^{r(A)}.\n\]\nDemuestre que la suma de polinomios para todos los subconjuntos redondos es exactamente el polinomio $ P(x) = 1.$

Sea $P$ un $2006$ - gono regular. Una diagonal se llama buena si sus puntos extremos dividen el borde de $P$ en dos partes, cada una compuesta por un número impar de lados de $P$ . Los lados de $P$ también se llaman buenos . Suponga que $P$ ha sido diseccionado en triángulos por $2003$ diagonales, ninguna de las cuales tiene un punto en común en el interior de $P$ . Encuentre el número máximo de triángulos isósceles que tienen dos lados buenos que podrían aparecer en tal configuración.

El alcalde de una ciudad desea establecer un sistema de transporte con al menos una línea de autobús, en la cual: - cada línea pasa por exactamente tres paradas, - cada dos líneas diferentes tienen exactamente una parada en común, - para cada dos paradas de autobús diferentes hay exactamente una línea que pasa por ambas. Determine el número de paradas de autobús en la ciudad.

En Terra Brasilis hay $n$ casas donde viven $n$ duendes, cada uno en una casa. Hay rutas de un solo sentido tales que: - cada ruta une dos casas, - en cada casa comienza exactamente una ruta, - en cada casa termina exactamente una ruta. Si una ruta va de la casa $A$ a la casa $B$, entonces diremos que la casa $B$ está al lado de la casa $A$. Esta relación no es simétrica, es decir: en esta situación, no necesariamente la casa $A$ está al lado de la casa $B$. Cada día, desde el día $1$, cada duende sale de la casa donde está y llega a la siguiente casa. Una leyenda de Terra Brasilis dice que cuando todos los duendes regresen a la posición original, el mundo se acabará. a) Demuestre que el mundo se acabará. b) Si $n = 98$, demuestre que es posible que los elfos construyan y guíen las rutas para que el mundo no se acabe antes de $300,000$ años.

Encuentre todas las funciones $R-->R$ tales que: $f(x^2) - f(y^2) + 2x + 1 = f(x + y)f(x - y)$

Demuestre que, al menos el $30$ % de los números naturales $n$ entre $1$ y $1000000$ el primer dígito de $2^n$ es $1$.

Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$, $M$ es el punto medio del segmento $BC$. Sea $X$ el punto de la intersección de la recta $HM$ con el arco $BC$ (sin $A$) de la circunferencia circunscrita de $ABC$, sea $Y$ el punto de intersección de la recta $BH$ con el círculo, demuestre que $XY = BC$.

Tenemos $98$ cartas, en cada una escribiremos uno de los números: $1, 2, 3, 4,...., 97, 98$. Podemos ordenar las $98$ cartas, en una secuencia tal que dos números consecutivos $X$ e $Y$ y el número $X - Y$ es mayor que $48$, determine cómo y de cuántas maneras podemos hacer esta secuencia!!

Demuestra que reduciendo las dimensiones de un cuboide no podemos obtener otro cuboide con la mitad del volumen y la mitad de la superficie.