51 $(NET 6)$ Una curva determinada por $y =\sqrt{x^2 - 10x+ 52}, 0\le x \le 100,$ se construye en una cuadrícula rectangular. Determina el número de cuadrados cortados por la curva.

53 $(POL 2)$ Dados dos segmentos $AB$ y $CD$ que no están en el mismo plano, encuentra el lugar geométrico de los puntos $M$ tales que $MA^2 +MB^2 = MC^2 +MD^2.$

54 $(POL 3)$ Dado un polinomio $f(x)$ con coeficientes enteros cuyo valor es divisible por $3$ para tres enteros $k, k + 1$ y $k + 2$. Demuestra que $f(m)$ es divisible por $3$ para todos los enteros $m$.

52 Demuestra que un polígono regular con un número impar de lados no puede dividirse en cuatro piezas de áreas iguales mediante dos rectas que pasen por el centro del polígono.

55 Para cada \(k=1,2,3,4,5\) encuentra condiciones necesarias y suficientes sobre \(a>0\) para que exista un tetraedro con \(k\) aristas de longitud \(a\) y las restantes de longitud \(1\).

56 Sean $a$ y $b$ dos números naturales que tienen el mismo número $n$ de dígitos en sus expansiones decimales. Los primeros $m$ dígitos (de izquierda a derecha) de los números $a$ y $b$ son iguales. Demuestra que si $m >\frac{n}{2},$ entonces $a^{\frac{1}{n}} -b^{\frac{1}{n}} <\frac{1}{n}$

58 $(SWE 1)$ Se dan seis puntos $P_1, . . . , P_6$ en el espacio tridimensional de modo que no haya cuatro de ellos en el mismo plano. Cada uno de los segmentos de recta $P_jP_k$ se colorea de negro o blanco. Demuestra que existe un triángulo $P_jP_kP_l$ cuyas aristas son del mismo color.

57 Sean $ v_1, v_2, \ldots, v_{1989}$ un conjunto de vectores coplanarios con $ |v_r| \leq 1$ para $ 1 \leq r \leq 1989.$ Demuestre que es posible encontrar $ \epsilon_r$ , $1 \leq r \leq 1989,$ cada uno igual a $ \pm 1,$ tales que \[ \left | \sum^{1989}_{r=1} \epsilon_r v_r \right | \leq \sqrt{3}.\]

59 $(SWE 2)$ Para cada $\lambda$ $(0 < \lambda < 1$ y $\lambda = \frac{1}{n}$ para todo $n = 1, 2, 3, \cdots)$ , construye una función continua $f$ tal que no existan $x, y$ con $0 < \lambda < y = x + \lambda \le 1$ para los cuales $f(x) = f(y).$

60 $(SWE 3)$ Encuentra el número natural $n$ con las siguientes propiedades: $(1)$ Sea $S = \{P_1, P_2, \cdots\}$ un conjunto finito arbitrario de puntos en el plano, y $r_j$ la distancia desde $P_j$ al origen $O.$ Asignamos a cada $P_j$ el disco cerrado $D_j$ con centro $P_j$ y radio $r_j$ . Entonces algunos $n$ de estos discos contienen todos los puntos de $S.$ $(2)$ $n$ es el entero más pequeño con la propiedad anterior.